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1、第一节 不定积分的概念、性质,不定积分的性质,原函数与不定积分的概念,基本积分表,第五章 不定积分,思考题,小结,例:,定义：,即：导数等于f(x)的函数F(x)叫做f(x)的原函数。,一、原函数与不定积分的概念,原函数存在定理：连续函数一定存在原函数.,注,（ 为任意常数）,不定积分的定义：,解,解,注,一积分曲线族,实例,启示,能否根据求导公式得出积分公式？,结论,既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.,二、基本积分表,二、基本积分表,解：,根据积分公式（2）,设函数f(x)及 g(x)的原函数存在，则,三、不定积分的性质,解：,解：,解,解：,说明：,以上几例

2、中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.,思考题,解答,所以都是函数,的原函数,思考题,解答,因为,?,积分变量统一,课堂练习题,解：,所求曲线方程为:,练习解答,基本积分表： 13个,不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系：,小结,作 业,P183 T1(偶数), T2,第五章 不定积分,第二节 换元积分法,第一类换元积分法,第二类换元积分法,第五章 不定积分,思考题,小结,基本积分表： 15个公式,不定积分的性质,原函数的概念：,不定积分的概念：,求微分与求积分的互逆关系：,内容回顾,问题:,？,解决方法:,利用复合函数，设置中间变量.,过程

3、:,令,一、第一类换元积分法,在一般情况下：,由此可得换元法定理.,第一类换元公式,（凑微分法）,定理1,第一类换元公式,注：,1. 使用此公式的关键在于将需要求的积分：,凑成,2. 基本步骤：,（凑微分法）,定理1,(1)凑微分;(2)换元; (3)最后代回为x的函数,注意定理条件,解（一）,（二）,（三）,（一）基本凑微分法,解：,解：,凑微分形式：,注：熟练掌握凑微分法的基础, 注意积累常用凑微分公式。,（二）多步凑微分法,解：,注：结果可作为公式，计算时直接套用。,解：,解：,分析：,（三）联合凑微分法,解：,（四）三角函数积分技巧法,解：,解决方法：,作适当的变量替换.,过程：,令,

4、（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元积分法,则有换元公式,定理2,解,令,三角代换法,解：,令,解：,令,注:,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,三角代换目的是化掉根式.,第二类换元的一般步骤,做变换:,计算被积表达式:,求不定积分:,还回原变量:,令,解：,例13 求,三角代换很繁琐,注: 代换的灵活多样性根式有理化代换,注:,当分母的阶较高时, 可采用倒代换,令,解：,基本积分表,解法一,三角代换法,令,思考题,解法二,根式有理化代换法,令,思考题,求,课堂练习题,1.第一换元法（凑微分法）,基本步骤：1、凑微分; 2、换元; 3、回代,关键步骤: 凑微分。,三角

5、代换、倒代换等,2.第二换元法,小结,第一换元法常见类型:,作 业,P197 T1(奇数), T2,第五章 不定积分,第三节 分部积分法,分部积分法公式,分部积分法解题技巧,第五章 不定积分,思考题,小结,内容回顾,1.第一换元法（凑微分法）,基本步骤：1、凑微分; 2、换元; 3、回代,关键步骤: 凑微分。,三角代换、倒代换等,2.第二换元法,第一换元法常见类型:,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,关键：,一、分部积分法公式,解（一）,令,显然， 选择不当，积分更难进行.,（二）,令,幂函数与三角函数乘积,注：,二、分部积分法解题技巧,若被积函数是幂函数和正(余)弦

6、函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为 ,使其降幂一次.,解,（再次使用分部积分法）,结论1,幂函数与指数函数乘积,解,令,幂函数与反三角函数乘积,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .,解,结论2,幂函数与对数函数乘积,解,注意循环形式,结论3 在接连几次应用分部积分公式时， 注意前后几次所选的 应为同类型函数.,指数函数与三角函数乘积,解,解,令,两边同时对 求导, 得,思考题,解,解：,令,课堂练习题,解：,令,课堂练习题,分部积分法,1、被积函数为幂函数与指数、三角函数相乘时,2、被积函数为幂函数与对数、反三角相乘时,3、被积函数为三角函数与指数函数相乘时,通过寻找恒等式求不定积分时，注意连续施行分部积分所选用的u、dv的一致性；,小结,作 业,P203 T1(奇数), T2,第五章 不定积分,概念,积分法,一、内容回顾,原函数,不定积分,直接积分（21个公式）,换元积分,分部积分,第一换元,第二换元,主要内容,1. 第一