河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测数学理试卷(解析版)

1、河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测数学理试卷（解析版）一、选择题1设集合，则（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题知A=（1,2），B=（1,3），所以，故选B.考点：一元二次不等式解法，指数不等式解法，集合间关系与集合运算2已知复数，则 （ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由题知=，|z|=1,所以，故选D.考点：共轭复数概念，复数的模公式，复数加法运算3已知，如果是的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由得，即，解得或，由是的充分不必要条件知，故选B.考点：分式不等式解法，充要

2、条件4在等差数列中，=,则数列的前11项和=（ ）A24 B48 C66 D132【答案】D【解析】试题分析：由=及等差数列通项公式得，解得=12，所以=1112=132，故选D.考点：等差数列通项公式，等差数列前n项和公式，等差数列性质5在的展开式中，系数是有理数的项共有（ ）A.4项 B.5项 C.6项 D.7项【答案】A【解析】试题分析：由二项展开式的通项知，=，由系数是有理数知，是整数，=0,1, ，15，则=1,5,9,13，共4项，故选A.考点：二项式定理6是两个向量，且，则与的夹角为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由知，=0，所以=-1，所以=，所以与的夹

3、角为，故选C.考点：平面向量垂直的充要条件，向量数量积7学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有 （ ）A.36种 B.30种 C.24种 D.6种【答案】B【解析】试题分析：先将语文、数学、英语、理综4科分成3组，每组至少1科，则不同的分法种数为，其中数学、理综安排在同一节的分法种数为1，故数学、理综不安排在同一节的分法种数为-1，再将这3组分给3节课有种不同的分配方法，根据分步计数原理知，不同的安排方法共有(-1)=30，故选B.考点：分步计数原理，排列组合知识8如图给出的是计

4、算的值的一个程序框图，则判断框内应填人的条件是 （ ）A B C D【答案】C【解析】试题分析：由题知，本题的框图作用是，其分母的通项为，令=2013，解得i=1007，由此知,i1007，循环，当i1007时，结束，故判断框内应填人的条件是，故选C.考点：程序框图9设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围是（）A. B. C.( 1 , 16 ) D.【答案】B【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，由表示原点与可行域内任意一点距离的平方，由图可知，当此距离为原点到直线时最小，= =，为点（4，0）时，z取最大值，z的最大值为16，所以目标函数z=x2+y2的取值

5、范围是（，16），故选B.考点：简单线性规划解法，点到直线距离公式10一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为 （ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥P-ABC，它是一个正四棱锥P-ABCD的一半，其中底面是一个两直角边都为6的直角三角形，高PE=4设其外接球的球心为O，O点必在高线PE上，外接球半径为R，则在直角三角形BOE中，BO2=OE2+BE2=（PE-EO）2+BE2，即R2=（4-R）2+（3）2，解得：R=，故选C.考点：三视图，球与多面体的切接问题，空间想象能力11若圆C关于直线对称，则由点向圆所作

6、的切线长的最小值是（ ） A.2 B. 4 C.3 D.6【答案】B【解析】试题分析：由题知圆C的圆心C（-1,2），半径为，因为圆C关于直线对称，所以圆心C在直线上，所以，即，所以由点向圆所作的切线长为=，当时，切线长最小，最小值为4，故选B.考点：圆的标准方程，圆的切线问题，二次函数最值12已知定义在上的函数是奇函数且满足，数列满足，且，（其中为的前项和），则( )A B C D【答案】C【解析】试题分析：由定义在上的函数是奇函数且满足知，= =，所以= = = =，所以的周期为3，由得，当n2时，=，所以=，所以=-3，=-7，=-15，=-31，=-63，所以 =3，故选C.考点：函数

7、的奇偶性、周期性，数列的递推公式，转化与化归思想二、填空题13直线与抛物线所围图形的面积等于_【答案】【解析】试题分析：由解得或，所以其围成图形的面积为= =.考点：定积分的应用14已知函数的图像为曲线C，若曲线C存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是_【答案】（2，+）【解析】试题分析：设切点横坐标为，因为=，所以函数在（，）的切线斜率为，由题知，=-2，所以2，所以实数m的取值范围为（2，+）.考点：函数的切线，两直线垂直的充要条件15已知双曲线的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率为_【答案】【解析】试题分析：F（c,0），双曲

8、线一条渐近线方程为，则过F与该渐近线垂直的直线方程为，联立解得P(，),所以PF的中点（，），代入双曲线方程求得=，所以双曲线的离心率为.考点：双曲线的性质，两直线的位置关系16已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短为原的倍（纵坐不变），得到函数的图象，则关于有下列命题 函数是奇函数； 函数不是周期函数；函数的图像关于点(，0)中心对称； 函数的最大值为. 其中真命题为_【答案】【解析】试题分析：由题知=，所以=，因为=是偶函数，故错，因为 =，周期为，故错，因为设（）是函数图像上任意一点，则，该点关于(，0)的对称点为（），所以= =- =，即点（）也在函数图像上，故图像关于(，0)对称，

9、正确；因为=，令，则-1t1，= =（-1t1），所以=，当-1-或1时，0，当-时，0，所以该函数在（-1，-），（，1）上是减函数，在（-，）是增函数，当=时，取极大值，因为当=-1时，y=0，所以的最大值为，故错，所以正确的命题为.考点：周期变换，函数的周期性、奇偶性、对称性，函数最值，转化与化归思想三、解答题17在中，角所对的边分别是，已知.（）若的面积等于，求；（）若，求的面积.【答案】（）2,2（）【解析】试题分析：（）由，运用余弦定理可得，由的面积等于，运用三角形面积公式可得，联立即可解得；（）利用三角形内角和定理先将化为，利用诱导公式及两角和与差的正弦公式将上式化为，分两种情况

10、，若，则求出A，B，C三角，利用解直角三角形求出，从而求出面积，若，求出A，B关系，利用正弦定理求出关系，结合（）中结果求出，从而求出三角形面积.试题解析：（）由余弦定理及已知条件得又 ，得 3分联立 解得 5分（）由题意得，即. 7分 的面积 9分当，由正弦定理得，联立方程解得所以的面积，综上，的面积为. 12分考点：正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角变换，运算求解能力18甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，乙队每人答对的概率都是设每人回答正确与否相互之间没有影响，用

11、表示甲队总得分（I）求随机变量的分布列及其数学期望E；（）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率【答案】（）分布列见解析，期望为；（）【解析】试题分析：（）先分析的所有可能取值，再分析取每一个可能值时每个人的答题情况，将若干个简单互斥事件的和，再分析每个简单事件的中每个人的答题情况，将其表示成若干个相互独立事件的积，再用互斥事件的积概率公式和相互独立事件的和概率公式，求出每种取值情况的概率，列出分布列，再代入期望公式求出的期望；（）先分析甲乙两队分数之和为4的甲乙两队的得分情况，将其分成若干个互斥事件的和，再根据每个互斥事件甲乙的两队的得分情况，化为相互独立事件的积，利用互

12、斥事件的和概率公式和相互独立事件的积概率公式求出甲乙两队的分值和为4的概率，在计算出甲队比乙队得分高的概率，利用条件概率公式即可所求事件的概率.试题解析：（1）的可能取值为0，1，2，3; 4分的分布列为0123 6分(2)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件B则; 8分 10分 12分考点：随机变量分布列与期望，互斥事件的概率计算，相互独立事件概率，独立重复试验，条件概率，应用意识19如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，（）求证：CD平面ADD1A1；（）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值.【答案】（）见解

13、析（）1【解析】试题分析：（）取CD的中点为E，连结BE，则ADEB为平行四边形，所以ADBE=4k，所以BC2=BE2+EC2，所以BEDC，所以AD与BC垂直，AA1面ABCD，所以AA1CD，所以CD垂直面AA1D1D；（）以D为原点，DA，DC，DD1为轴，建立空间直角坐标系，写出A、A1，B1，C的坐标，求出面AB1C的一个法向量，算出向量坐标，计算出这两个向量的夹角，再利用向量夹角与线面角关系，列出关于k的方程，若能解出k值.试题解析：（）取CD的中点E，连结BE.ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形， 2分BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC

14、5k，BE2CE2BC2，BEC90，即BECD，又BEAD，CDAD. 4分AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD又AA1ADA，ADD1A1. 6分（）以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则所以，设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得. 9分设AA1与平面AB1C所成角为，则sin |cos，n|，解得k1，故所求k的值为1. 12分考点：面面垂直的性质，线面垂直的判定，线面角的计算，推理论证能力，运算求解能力，空间想象能力20已知椭圆C1：和动圆C2：，直线与C1和C2分别有唯一的公共点A和B（I）求的取值范围；（II ）求|

15、AB|的最大值，并求此时圆C2的方程【答案】（）1，2）（）1，x2+y2=2【解析】试题分析：（）将直线方程与椭圆方程联立消去整理成关于的一元二次方程，因为直线与椭圆只有一个公共点，则判别式为0，列出关于m，k的方程，再由直线与圆只有一个公共点知，直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径找出r,m,k关系，将这两个关于m,k的方程联立，消去m，将r表示成k的函数，利用函数求值域的方法，求出r范围；（）由（）可求得A,B两点的横坐标，利用弦长公式将AB用r表示出，利用函数求最值的方法，求出|AB|的最大值及取最大值时的r值，从而写出圆的方程.试题解析：（）由，得（1+4k2）x2+8kmx+

16、4（m21）=0由于l与C1有唯一的公共点A，故1=64k2m216（1+4k2）（m21）=0， 2分从而m2=1+4k2 由，得（1+k2）x2+2kmx+m2r2=0由于l与C2有唯一的公共点B，故2=4k2m24（1+k2）（m2r2）=0， 4分从而m2=r2（1+k2） 由、得k2=由k20，得1r24，所以r的取值范围是1，2） 6分（）设A（x1，y1），B（x2，y2），由（）的解答可知x1=，x2=|AB|2=（1+k2）（x2x1）2=（1+k2）=k2（4r2）2=（4r2）2=， 9分所以|AB|2=5（r2+）（1r2）因为r2+22=4，当且仅当r=时取等号，所以

17、当r=时，|AB|取最大值1，此时C2的方程为x2+y2=2 12分考点：直线与椭圆的位置关系，直线与圆的位置关系，最值问题，转化与化归思想，运算求解能力21已知函数（）.（）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；（）若，且关于的方程在上恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；（）设各项为正数的数列满足，（），求证：.【答案】（）；（）；（）见解析【解析】试题分析：（）求出的定义域及导函数，由函数在定义域内单调递增知，0在定义域内恒成立，通过参变分离化为在定义域内恒成立，求出的最小值，即即为的取值范围；（）先将关于的方程在1,4上恰有两个不等实根转化为方程 =在1,4上恰有两个不等实根，即

18、函数y=（x1,4）图像与y=b恰有两个不同的交点，利用导数通过研究函数y=（x1,4）的单调性、极值、最值及图像，结合y=（x1,4）的图像，找出y=（x1,4）与y=b恰有两个交点时b的取值范围，即为所求;（）利用（x1），将放缩为即，通过累积，求出的范围，即为所证不等式.试题解析：（）函数的定义域为，依题意在时恒成立，则在时恒成立，即，当时，取最小值-1，所以的取值范围是 4分（），由得在上有两个不同的实根，设，时，时，得则 8分（）易证当且时，.由已知条件，故所以当时，相乘得又故，即 12分考点：常见函数的导数，导数的运算法则，导数函数单调性关系，导数的综合应用，利用导数证明不等式，运

19、算求解能力.22如图，四边形ABCD内接于,是的直径，于点,平分.（）证明：是的切线（）如果,求.【答案】（）见解析（）【解析】试题分析：（）连结OA，由OA=AD知OADODA，由平分知，BDA=ADE，所以ADEOAD，由内错角相等两直线平行得OACE，因为AECE，所以OAAE，故AE是圆O的切线；（）由（）可得ADEBDA，所以，即BD2AD，所以所以ABD30，从而DAE30，在直角三角形AED中，求出DE，再由切割线定理得AE2EDEC=ED（CD+DE），即可求得CD的值.试题解析：（）连结OA，则OAOD，所以OADODA，又ODAADE，所以ADEOAD，所以OACE因为AE

20、CE，所以OAAE所以AE是O的切线. 5分（）由（）可得ADEBDA，所以，即，则BD2AD，所以ABD30，从而DAE30，所以DEAEtan30由切割线定理，得AE2EDEC，所以4 (CD)，所以CD. 10分考点：切线的判定，相似三角形的判定与性质，切割线定理.23已知曲线的直角坐标方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.是曲线上一点，将点绕点逆时针旋转角后得到点,点的轨迹是曲线.（）求曲线的极坐标方程.（）求的取值范围.【答案】（），（）2，4【解析】试题分析：（）先将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程，设M(，)，根据知，Q（，)，由是曲线上一点，将点绕点逆时针旋转角后得到点知，P（，），代入曲线的极坐标方程即得