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1、有趣的图形数2010-04-29 17:44:11|分类： 数学珍闻 |标签： |字号大中小订阅 古希腊有位数学家叫毕达哥拉斯。他和他的学派在数学上做出了巨大的贡献。毕达哥拉斯认为“数是万物之源”。1表示点，2表示线，3表示面，4表示体。 世间万物无一不是由点、线、面、体所组成，而 123410，因此，10就可以表示宇宙。毕达哥拉斯把自然数看成是点的化身，尤其看重能够排成三角形、正方形、长方形的数。下面我们就用这三种数推出一些非常重要的常用公式。公式一：两个三角形数可以组成一个长方形数： 所以 (12345)256，即 推而广之，如果三角形数有n层，长方形数就有n层，每层有n1个点，于是得到求

2、连续自然数的和的公式：公式二：正方形数可以这样划分：所以1357952。推而广之，如果正方形数有n层，第n层就有2n1个点，于是得到求连续奇数和的公式：135(2n1)n2公式三：长方形数可以这样划分：所以 2468105(51)。推而广之，如果长方形数有n层，第n层就有2n个点，于是得到求连续偶数和的公式：2462nn(n1)公式四：正方形数还可以这样划分： 先按横行从1加到5，再按竖列从4加到1，即12345432152。推而广之，如果正方形数有n层，于是得到求从1到n再到1的连续自然数之和的公式：123n(n1)(n2)21n2图形数把抽象的数与直观的图形巧妙地联在一起，这种数形结合的方

3、法是一种重要的常用的数学思想方法。下面我们进一步用这种方法再推出两个比较复杂一点的重要公式。公式五：把这5个连续正方形数12、22、32、42、52稍加变形，排成左下方的“摩天大楼形”： 在它的两侧各加上同样的5个连续正方形数，得到一个像右上方那样的长方形数。摩天大楼形数等于 1222324252长方形数是它的3倍。从下往上看，这个长方数有 层。从最上层看，每层有251个点。所以长方形数等于于是推而广之，就得到求连续平方数的和的公式：真是妙不可言！公式六：下面的大正方形是由一些边长分别是1、2、3、4、5的小正方形拼成的。 观察发现，虽然有两处重叠，不过这两个重叠部分与各自右下方的空白部分大小相等，正好可以用重叠的那一层补上空白部分。因此可以说，这个大正方形是由1个边长为1的正方形、2个边长为2的正方形、3个边长为3的正方形、4个边长为4的正方形和5个边长为5的正方形拼成的。所以它的面积等于1122223324425521323334353而大正方形的边长等于面积等于边长的平方。于是 推而广之，就得到求连续立方数的和的公式：真是不可思议！上面我们用数形结合与合情推理的方法，妙趣横生地得到

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