数学建模地震对日本的影响

1、承 诺 书 我们仔细阅读了“创新杯”中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们的参赛队号为： SOUMAT 所属学校 ： 武汉大学 参赛队员 ：1. 张水鹏 2. 李常欣 3. 操郡 指导教师或

2、指导教师组负责人 (若无可不填)： 日期： 2011 年 4 月 3 日 日本地震对本国及全球影响的定量评估摘要2011年3月11日日本发生里氏9.0级地震。由地震引起的海啸，核泄漏，交通等问题对日本造成了巨大的灾难，日本作为世界第三经济大国，对全球的经济有着举足轻重的影响，而日本自身在地震中所受的影响会产生蝴蝶效应，并逐步传递到世界的各个角落。为对此次地震造成的影响进行定量分析，本文分别选取日本一、二、三产业中的代表即农副产业、制造业以及旅游业的相关变化数据对国内及国外产生的影响进行定量分析、预测和评估。在本文中，我们对三大代表性产业的影响因子分层进行量化，通过灰色模型，曲线偏差预测模型，本

3、底趋势线模型，来得到各产业内部代表性产业的影响因子，在此基础上，整体运用层次分析法进行具体分析。对于层次分析，第一层包括制造业、旅游业、农副产业，在第二层中，制造业包括汽车、电子、基础工业，旅游业包括入境旅游、出境旅游，农副产业包括进口产品、出口产品。其中，量化过程所用数据是从地震日期往前推若干时间进行采集。首先，地震对农副产品业的影响问题，可以对比地震前后农副产品进、出口额，利用差额与实际值的比值代表地震对于农副产品进、出口额的影响。地震后的三月份农副产品进、出口额可以从网上信息进行估计，而不发生地震情况下农副产品进、出口额的数值可以采用灰色模型进行预测，从而得出进口额和出口额的影响率分别为

4、0.2361%和-1.896%。结合层次分析最后得出日本地震对于农副产品进口额的影响因子值为：0.0413，出口额的影响因子值为：0.1650。其次，地震对制造业的影响问题，利用曲线偏差预测模型，可以通过对已知数据进行拟合，得出相关的拟合方程，通过对拟合方程进行数据预测所得的预测值和实际数据进行偏差比较进而得出其相应的影响率分别为0.248、0.265和0.405。结合层次分析最后得出日本地震对于汽车行业的影响因子值为：0.3434，电子信息的影响因子值为：0.1363，基础工业的影响因子值为：0.2163.第三，地震对旅游业的影响，可以采用本底趋势线模型，首先建立时间区间与旅游人数的关系，然

5、后去预测在不发生地震的情况下，三月份日本入境与出境旅游的人数，再从网上查询实际的出入境人数。利用两者的差值与实际值的比值作为地震对于日本入境与出境旅游的影响率,结果分别为-49.0473%和-16.2208%。结合层次分析得出的结论是：日本地震使得三月份入境人数的影响因子值为0.0751，使得出境旅游人数的影响因子值为0.0227。本文通过两层模型的详细分析，得出制造业、旅游业、农副产业的综合影响因子分别为0.6959，0.0978，0.2063。该结果和实际报道结果及当前形势较为符合，定量分析、预测和评估总体结果较为理想。关键词：地震 层次分析法 灰色模型 本底趋势线模型 曲线偏差预测模型

6、影响因子一、问题重述与分析日本遭遇了历史上最强烈地震，作为世界第三经济大国的日本，在电子，机械等领域都有着雄厚的基础和优势，而由于交通，核辐射等因素，让日本在诸多方面陷入了困境。这不仅对日本也对全球带来了相关的影响。鉴于日本是世界经济大国，在国际社会中扮演着重要角色，另外结合日本本国自身的经济体制结构，我们在互联网上搜集了有关日本地震的数据，我们决定选取三个最具典型代表的方面来定性分析日本地震对本国以及全球的经济影响，从影响力入手，按产业类型选出制造业、旅游业、农副产业，同时将制造业细分为汽车、电子信息、基础工业，通过曲线偏差预测模型得出其内部相应三个行业的贡献力，将旅游业分为入境旅游、出境旅

7、游，通过本底趋势线模型得出其内部相应两个行业的贡献力，将农副产业分为进口和出口两方面，通过灰色模型得出其内部相应两个行业的贡献力，在此基础之上，通过层次分析法得出内部细分行业的贡献因子及对应三大产业的贡献因子，进而得出整体的影响力。二、模型假设及符号的定义说明2.1 模型假设：（1） 网络数据真实可靠，所统计的数据都在误差允许范围之内。（2） 假设所统计的数据都在误差允许范围之内。（3） 日本地震引发的三个支柱产业的波动情况能代表日本全体产业的波动情况，除此之外，影响比重较小，可以忽略不计。（4） 如果日本不发生地震，日本的农副产业进、出口额，旅游人数以及制造业 产值按以前规律变化，无突变。2

8、.2 符号定义及说明：符号释义旅游业的发展动态旅游业的趋势项旅游业的周期项旅游业的随机项相关系数对农副产品进出口总额对入境旅游人数的影响率对出境旅游人数的影响率对汽车产业的影响率对电子信息业的影响率对基础工业的影响率对农副产品进口总额影响率对农副产品出口总额影响率各层因子构造的判断矩阵由判断矩阵求出的特征向量由判断矩阵求出的最大特征根层次总排序权重三、模型的建立与求解3.1 日本地震对于旅游业的影响率分析：日本作为全球第三大经济体，其旅游业也是国内的支撑产业之一，但是地震导致的核泄漏使得全世界的游客惧怕去日本旅游，这日本的旅游业造成了巨大的打击。因此，本文从两个方面去研究地震对旅游业的影响，包

9、括：日本本土的旅游业的影响和对世界旅游业的影响。旅游业的发展趋势是确定的、可预报的，而各年增长率的变化却是随机的、不可预报的。 旅游业发展的本底趋势线归结为4种基本形式和6种复合形式，直线（或指数线）增长基础上的周期性波动可能反映了旅游业发展的基本规律。在此基础上进而将其归纳成统一方程， 。 旅游业的发展动态（）可分解为趋势项（）、周期项（），、随机项（）三个部分。 其中，趋势项（）可用直线方程或指数方程来反应， 周期项（）可用三角函数或逻辑增长函数来反应，随机项（）可用随机时间序列分析中的或来模拟。与以往单纯的直线模拟、灰色建模、时间序列模拟相比较，这种时域组合模式经济意义明确、包含时间序列

10、的信息量丰富，更能精确地反应旅游业发展的动态变化规律。 由于本文的主要目的在于建立6年来同期的三月份日本入境旅游和出境旅游的本底趋势线方程，着重分析其趋势项和周期波动项，所以略去了随机波动项。下面所列的本底趋势线方程中t为时间变量，从2004年开始依次取t = 1，2，3.。表1 2004-2010 日本三月份入境旅游人数年月份03/200403/200503/200603/200703/200803/200903/2010入境旅游人数（万人）57.387660.233363.333476.2575.666763.166778.6972入境客流总量本底趋势线模型：客流总量是反应旅游业发展水平的

11、第一指标。2004年三月份日本共接待入境游客24.02万人次，2009年三月份接待入境游客165.35万人次，6年来年来三月份日本累计接待入境游客约1623万人次，三月份旅游年接待量增长6.9倍，年均增长率为10.12%。根据这6年来客流总量的统计数据，用直线-三角函数复合模型进行模式识别，得到三月份日本入境游客动态变化的本底线方程：相关系数r = 0.9944，说明上述模拟相关显著性显著，符合高精度预测要求。根据模型预测2011年三月日本入境旅游人数为78.5042。从网上所查信息估计今年3月份日本入境旅游人数为40万人。日本地震对于三月份入境旅游人数的影响率为：表2 2004-2010日本

12、三月份出境旅游人数年月份03/200403/200503/200603/200703/200803/200903/2010三月出境旅游人数（万人）134.332137.876136.3334137.9876130.6667138.7294148.6416出境客流总量本底趋势线：2004年三月份日本共出境游客24.02万人次，2009年三月份共出境游客165.35万人次，6年来年来三月份日本累计出境游客约1623万人次，三月份出境旅游量年增长6.9倍，年均增长率为10.12%。根据这6年来客流总量的统计数据，用直线-三角函数复合模型进行模式识别，得到三月份日本入境游客动态变化的本底线方程：相关系

13、数r = 0.9854，说明上述模拟相关显著性显著，符合高精度预测要求。根据模型预测2011年三月日本出境旅游人数为143.2337。从网上所查信息估计今年3月份日本出境旅游人数为120万人。日本地震对于三月份出境旅游人数的影响率为：图表 13.2 日本地震对于制造业的影响率分析：在该模型中，我们通过对已知数据的拟合，得出相关的曲线方程，通过对曲线方程进行数据预测和实际数据进行偏差比较进而得出其相应的影响率。详细分析如下：对于日本制造业来说，抽取其代表性产业汽车、电子信息、基础工业三个方面来进行分析，我们采用以下做法来定量衡量以上三个因子的影响率：首先运用搜索引擎搜索从2010年9月到2011

14、年3月各个月份的关于日本汽车产值如下表：表3 制造业中代表性产业各个月份的销售量或销售额 日期制造业10.1010.1110.1211.0111.0211.03汽车(万辆)75.273.171.370.665.249.7电子信息（亿日元）1593 1896 2083 1423 1517 1490基础工业（亿日元）802.33 966.92 984.52 1043.53 1125.71017.3从下图中可以看出统计数据的基本走势，并进行最小二乘拟合求出相对精确的走势：图1 汽车业每个月的销售量图2 汽车业每个月的销售量拟合图3 电子信息业每个月销售量图4 电子信息业每个月的销售量拟合图5 基础工

15、业每个月的销售量图6 基础工业每个月份的销售量拟合以汽车产业为例来说明，通过软件对前四个月的数据进行拟合，根据拟合结果进而来预测出一般情况下（假设没有地震）后两个月的信息量。用的最小二乘拟合方法拟合出方程分别为（包括二次和三次）：六点曲线拟合方程：四点曲线拟合方程：将代入上面方程：图表 2得到后两个月的预测数据（二次和三次拟合结果的加权平均值），拿后两个月的预测数据与后两个月的实际数据进行比较：由此算出综合影响指标:图表 3 ，最后得出汽车产业的影响率为0.248。 同理可得出电子产业的曲线拟合方程： 六点曲线拟合方程：图表 4四点曲线拟合方程：基础工业：六点曲线拟合方程：图表 5四点曲线拟合

16、方程：由此按照汽车产业影响值的方法得出电子信息、基础工业的影响率、分别为0.265和0.405。3.3日本地震对于农副产品进、出口总额的影响率分析：我们通过灰色模型预测在2011年三月日本不发生地震的情况下进出口总额的情况，进而计算出日本地震对农副产品进出口总额的影响率。a. 建立日本地震对进口总额的灰色模型通过在互联网的搜索，我们首先得到了2004年到2010年三月农副产品进口总额，列表如下：表4 2004年到2010年三月农副产品进口总额月份03/200403/200503/200603/200703/200803/200903/2010进口总额（亿元）.5.2.6 .0 .5.1.7 记

17、2004到2010年的数据为原始数据:图表 6（1）级比值：图表 7因为，所以可作灰色模型。（2）对原始数据作一次累加：计算数据矩阵图表 8：图表 9根据定理：（3）建立模型：图表 10白化方程为：取，得时间响应函数：通过得出的时间响应函数，我们可以预测出在日本不发生地震的情况下3月进口总额应该是：.245。通过网上的信息可知，日本三月份的进口总额大约在.876。b. 由a所建立的模型，我们可以求出日本地震对农副产品进口总额影响率：上式数据说明日本地震对于农副产品进口总额的影响，对这一拉动作用进行了量化，即影响率为0.2631%。表5 2004年到2010年三月农副产品出口总额月份03/200

18、403/200503/200603/200703/200803/200903/2010出口总额（亿元）7090.58515.0 9306.7 9594.1 7193.112031.37090.5同理可以得出日本地震对于农副产品出口总额的影响率为：3.4 层次分析模型：在已得影响率的基础上，我们引入了层次分析法对日本三大产业综合实力进行评估。具体过程如下：（1）构造层次分析法结构图：根据对问题的分析，我们把层次结构分为三层，即第一层为制造业、旅游业和农副产业，这三个方面又分别包含了第二层的指标；根据对第一层次的指标因素的分析，本文给出了第二层次的指标和结构图（如图）。综合影响力制造业旅游业农副产

19、品业汽车电子信息基础工业入境旅游出境旅游入境旅游出境旅游图7 层次分析结构图（2）构造判断矩阵：根据层次分析法，构造判断矩阵需要对同层间共属其上一层某一指标的相关因素进行两两比较而得到，借鉴的9标度得到判断矩阵：图表 11其中为第行元素和第行元素之间的标度。（3）判断矩阵的计算第一、计算判断矩阵每一行元素的乘积：第二、计算的n次方根：。第三、对向量图表 12作归一化，即：,则即为所求特征向量。第四、计算判断矩阵的最大特征根。（4）判断矩阵的一致性检验对判断矩阵进行一致性检验，一致性检验的判断式。表6 随机一致性指标阶数123456789101112131415RI000.520.891.211

20、.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59层次单排序一致性检验指标： 图表 13其中：表示判断矩阵阶数。当时，单排序的计算结果满足完全一致性；当且时，单排序的计算结果满足一致性；否则应调整判断矩阵的标度值。 由式（3）得，所有，单排序的计算结果满足完全一致性。（5）计算权值和对结果一致性检验第一、层次单排序层次单排序是根据判断矩阵，计算对于上层次某元素而言本层次与之有联系的元素重要性次序的权重值。根据各层次中所计算的影响因子得出判断矩阵如下：，用判断矩阵解出了、的单层次的权值，见表7。表7 、单层的权值表达式138069591/311/50.09781/85

21、10.2063一致性检验图表 14同理，解出、下的单层权值见表8：表8 下单层的权值表达式11/21/40.4934211/30.19584310.3108一致性检验图表 15表9 下单层的权值表达式图表 16160.76751/610.2325一致性检验表10 下单层的权值表达式11/80.2000810.8000一致性检验第二、层次总排序利用同一层次中所有层次单排序结果，计算针对上一层次而言本层次所有元素重要性的权值。依次沿梯阶层次结构由上而下逐层计算，可以算出最低层次元素相对重要性的排序权重。所求的最终各项的权重可以用下式来表示：表11 权重表，图表 17权重0.69590.09780.

22、20630.49340.34340.19580.13630.31080.21630.76750.07510.23250.02270.20000.04130.80000.1650四、模型的评价与现实意义4.1 模型评价利用拟合和统计等计算方法，拟合效果可以从拟合函数系数和拟合曲线两个方面来判断，然后通过曲线拟合得到变量间的拟合函数就可以对变量进行关系进行分析，较为简洁。建立灰色模型和本底趋势线模型，检验了模型的适用性，克服了数据较少不足。根据旅游业、制造业以及农副产业的影响率，求解出日本地震对本国乃至全球经济的影响，有一定的创新性且有实用性。但在利用拟合和统计等计算方法过程中，其比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。灰色模型虽可进行长期预测，但从会灰平面上看，真正具有实际意义的、精度较高的预测值是最近的一、两个数据，其他更远的预测仅反映一种趋势，而没有精确的估计；层次分析法：把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围挺广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，