1-5伯努利概型.ppt

1、,第一章随机事件及其概率,第5讲伯努利概型,一试验的独立性,利用事件的独立性可以定义两个或多个试验的独立性. 定义设有两个试验E1和E2，假如试验E1的任一结果(事件)与试验E2的任一结果(事件)都相互独立，则称试验E1和E2相互独立(independent). 类似地可以定义n个试验E1 , E2 , En的相互独立 性：如果试验E1的任一结果，试验E2的任一结果，试验En的任一结果都是相互独立的n个事件， 则称试验E1 , E2 , En相互独立.,二伯努利试验(Bernoulli trials),在许多问题中，我们对试验感兴趣的是某一类结果(事件A)是否出现例如 产品抽样检查中关注的是抽

2、到废品还是正品； 抛掷硬币时关注的是出现正面还是出现反面； 电视节目收视率的调查中调查对象是否观看了节目. 在这类问题中，一次试验只有两个结果: A或者 , 这类试验称为伯努利试验. 在伯努利试验中，记 P ( A) p,P ( ) q 1 p. 其中： p 0,q 0,p q 1.,将某伯努利试验E 重复进行n次独立试验，称为n 重伯努利试验. n 重伯努利试验的样本点可以记作 (1 ,2 ,n ) 其中i 或者为A,或者为 , 这样的 共有2n个. 这 2n 个样本点组成了样本空间.,n重伯努利试验,( A, A, A), ( A, A, A),( A, A, A), ( A, A, A)

3、,( A, A, A), ( A, A, A).,设样本点 (1 ,2 ,n )中有k个A，n k个 .,由独立性知 P ( ) pk qn k . 每个样本点的概率可由上式得到，因而任何事 件的概率都可计算出来. 例如：三重伯努利试验共有8个样本点:,p1q2 p2 q1,p1q2 p2 q1,p1q2 p3 q0,( A, A, A), ( A, A, A), 概率分别为 p0 q3 p2 q1,定理 设在伯努利试验中，事件发生的概率为 p(0 p 1)，则在n重努利试验中,事件A 恰好发生 k次概率为 P (k ) C k pk qn k，k 0,1, 2, n nn 其中:q 1 p.

4、,n,其中任何一个样本点的概率都是pk qn k . 因而事件A 发生k次的概率为 P (k ) C k pk qn k，k 0,1, 2, n nn,证明：显然事件A 发生k次共包含C k 个样本点.,(Binomial probabilities),能证明这个公式吗?,二项式公式(binomial formula),=0 = 2 ,=0 1 =1,例 袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球 4 次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.,解 每取一个球看作是做了一次试验,记取得白球为事件 A ，,有放回地取4个球看作做了 4 重Bernoulli 试验, 记第 i 次取得白球为事件 Ai,感

5、兴趣的问题为:4次试验中A 发生2次的概率,1010,10,10,k, k 6, k 6,P ( A) ,C 0.8k 0.210 k 0.97.,P(k )=,例 对某种药物的疗效进行考察，设这种药物 对某种疾病的有效率为p 0.8，现有10名患此种疾 病的患者同时服用该药，求至少有6名患者服药有 效的概率. 解 :这是贝努利概型，n 10，p 0.8，记 A 至少有6名患者服药有效,例 甲乙两名运动员进行乒乓球比赛，已知每 一局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4.比赛可采用三局两胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下，甲获胜的可能性大？,2, 0.62 C 1 0.6 0.4 0.6

6、0.648,解 : （1）若采用三局两胜制，则下列两种情况 下甲获胜 A1 2 : 0 甲胜前两局， A2 2 : 1 前两局各胜一局，第三局甲胜. 则P1 (甲胜) P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P( A2 ) P2 (2) P2 (1) 0.6,（2）若采用五局三胜制，则下列三种情况下甲 获胜,B1 3 : 0 甲胜前三局， B2 3 : 1 前三局甲胜二局，第四局甲胜. B3 3 : 2 前四局甲乙各胜两局,第五局甲胜 则P2 (甲胜) P ( B1 B2 B3 ) P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 ) P3 (3) P3 (2) 0.6 P4 (2) 0.6,34, 0.63 C 2 0.62 0