高考数学文科课标Ⅱ专用复习专题测试命题规律探究题组分层精练29函数模型及其综合应用

1、2.9 函数模型及其综合应用,高考文数 (课标专用),(2017课标全国,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则() A. f(x)在(0,2)单调递增 B. f(x)在(0,2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,答案C本题考查函数的图象与性质. 函数f(x)=ln x+ln(2-x)=lnx(2-x),其中0x2,则函数f(x)由f(t)=ln t,t(x)=x(2-x)复合而成,由复合函数的单调性可知,x(0,1)时, f(x)单调递增,x(1,2)时, f(x)单调递减,则A、B选项错误;t(x)的图象关于直

2、线x=1对称,即t(x)=t(2-x),则f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,故C选项正确,D选项错误.故选C.,五年高考,A组 统一命题课标卷题组,答案A令g(x)=, 当a0时,如图1所示, 若f(x)g(x)恒成立,则g(0)2,得a-2, -2a0; 图1 当a0,x1时,如图2所示, f(x)=x+,则f (x)=1-,由f (x)=,得x=2,此时y=3, 即点B(2,3),则g(2)=+a3, 得a2,0a2. 图2 综上可知,-2a2.,思路分析作出函数y=f(x)的图象,借助于图象的直观性求出f(x)在R上恒成立时a的取值 范围.,方法总结解决含绝对值

3、不等式恒成立的问题,往往将不等式问题转化为两函数图象的上、下位置关系问题,从而利用数形结合得出满足条件的不等式,进而求出参数a的值.,2.(2016四川,7,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是() (参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30) A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年,答案B设第n(nN*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元. 根据题意得130(1+12%)n

4、-1200, 则lg130(1+12%)n-1lg 200, lg 130+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 2+lg 1.3+(n-1)lg 1.12lg 2+2, 0.11+(n-1)0.050.30, 解得n, 又nN*,n5, 该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选B.,3.(2015四川,8,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是() A.16小时B.20小时

5、C.24小时D.28小时,答案C由已知得192=eb, 48=e22k+b=e22keb, 将代入得e22k=,则e11k=, 当x=33时,y=e33k+b=e33keb=192=24,所以该食品在33 的保鲜时间是24小时.故选C.,4.(2014山东,9,5分)对于函数f(x),若存在常数a0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是() A.f(x)=B.f(x)=x2 C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1),答案D由f(x)=f(2a-x),得函数f(x)的图象关于直线x=a对称,易知A、C错误.又因为

6、a0,而函数f(x)=x2图象仅有一条对称轴为直线x=0,故B错误,而f(x)=cos(x+1)=cos(-x-1)=cos(-2-x)+1= f(-2-x),故D正确.所以选D.,评析本题以新定义的形式考查了函数图象的对称性,考查学生运用所学知识分析问题、解决问题以及知识迁移运用的能力.本题易错点有3处:误把“准偶函数”当作“偶函数”而错选B;忽视条件a0而错选B;不能从关系式f(x)=f(2a-x)得出函数f(x)的图象关于直线x=a对称而致错.,5.(2013陕西,9,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(单位:m)的

7、取值范围是() A.15,20B.12,25 C.10,30D.20,30,答案C设与矩形的边的长为x m相邻的边的长为y m, 则由三角形相似知,=, y=40-x. xy300, x(40-x)300, x2-40 x+3000, 10 x30.,6.(2017浙江,17,4分)已知aR,函数f(x)=+a在区间1,4上的最大值是5,则a的取值范围 是.,答案,解析本题考查函数的单调性,函数在闭区间上的最值的求法,考查分类讨论思想. 设g(x)=x+-a,x1,4, g(x)=1-=,易知g(x)在1,2上为减函数,在2,4上为增函数,g(2)=4-a,g(1)=g(4)=5-a. (1)

8、当a4时,|g(x)|max=5-a,f(x)max=|g(x)|max+a=5. a4符合题意. (2)当45时,|g(x)|max=a-4,f(x)max=a-4+a=5a=(舍去). 综上,实数a的取值范围为.,答案C小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C.,2.(2013安徽,8,5分)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间a,b上可找到n(n2)个不同的数x1,x2,xn,使得=,则n的取值范围为() A.2,3B.2,3,4C.3,4D.3,4,5,答案B令

9、=k,转化为求函数y=f(x)的图象与y=kx的图象的交点个数问 题来求解.由题图可知,交点个数可以是1,2,3,4,又n2.故选B.,评析这是一道典型的数形结合题,还可以从的几何意义出发,将视为图象上的点(xn, f(xn)与(0,0)连线的斜率,斜率相等时,对应的点(xn, f(xn)的个数即为求解的n值.,3.(2013福建,16,4分)设S,T是R的两个非空子集,如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足: (i)T=f(x)|xS; (ii)对任意x1,x2S,当x1x2时,恒有f(x1)f(x2), 那么称这两个集合“保序同构”.现给出以下3对集合: A=N,B=N*; A=x|-

10、1x3,B=x|-8x10; A=x|0x1,B=R. 其中,“保序同构”的集合对的序号是.(写出所有“保序同构”的集合对的序号),答案,解析由(i)知函数f(x)的定义域为集合S,值域为集合T; 由(ii)知f(x)在定义域上单调递增. 对,函数f(x)=x+1满足条件,故正确; 对,函数f(x)=x-满足条件,故正确; 对,存在图象如图所示的函数符合条件, 如函数f(x)=tan,故正确.,评析本题考查函数的概念及单调性,考查学生应用知识解决新问题的应变能力及创新意识,根据所给条件构造符合条件的函数是关键.,1.(2016辽宁锦州期末,9)国家规定个人稿费纳税办法是不超过800元的不纳税;

11、超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税,已知某人出版一本书共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为() A.2 800元B.3 000元C.3 800元D.3 818元,三年模拟,一、选择题（共5分）,A组 20152017年高考模拟基础题组 (时间：15分钟 分值：35分),答案C由题意知,纳税额y(元)与稿费x(元)之间的函数关系式为y= 令(x-800)0.14=420, 解得x=3 800, 令0.112x=420,得x=3 750(舍去), 故这个人应得稿费(扣税前)为3 800元.故选C.,评析本题考查分段

12、函数的应用,求解的关键是正确理解所给的实际问题,建立符合实际的函数模型,本题考查建立函数模型的能力.,2.(2016广东3月测试,16)已知函数f(x)的定义域是R,直线x=1和x=2是曲线y=f(x)的对称轴,且f(0)=1,则f(4)+f(10)=.,答案2,解析直线x=1和x=2是曲线y=f(x)的对称轴, f(2-x)=f(x), f(4-x)=f(x), f(2-x)=f(4-x),y=f(x)的周期T=2. f(4)+f(10)=f(0)+f(0)=2.,二、填空题（每题5分，共15分）,3.(2016北京房山期末,16)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒,经过x小时

13、后,病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为,经过5小时,1个病毒能分裂成个.,答案y=4x;1 024,解析设原有1个病毒, 经过1个30分钟有2=21个病毒; 经过2个30分钟有22=4=22个病毒; 经过3个30分钟有42=8=23个病毒; 经过个30分钟有22x=4x个病毒, 病毒个数y与时间x(小时)的函数关系式为y=4x. 经过5小时,1个病毒能分裂成45=1 024个.,4.(2016浙江杭州五校联盟一诊,9)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意xR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当x1,x20,3,且x1x2时,都有0.给出下列命题: f(3)=0; 直线x

14、=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴; 函数y=f(x)在-9,-6上为增函数; 函数y=f(x)在-9,9上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为.(把所有正确命题的序号都填上),答案,解析对于任意xR,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,令x=-3,则f(-3+6)=f(-3)+f(3),又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(3)=0. 由知f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期为6, 又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x+6)=f(-x), 而f(x)的周期为6,所以f(x+6)=f(-6+x), f(-x)=f(-x-6), 所以f(-6-x)=f(-6+x),所以

15、直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴. 当x1,x20,3,且x1x2时,都有0, 所以函数y=f(x)在0,3上为增函数, 因为f(x)是R上的偶函数,所以函数y=f(x)在-3,0上为减函数,而f(x)的周期为6,所以函数y=f(x)在 -9,-6上为减函数. f(3)=0, f(x)的周期为6,所以f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,所以函数y=f(x)在-9,9上有四个零点.故答案为.,5.(2017云南曲靖一中月考)学校里两条互相垂直的道路AM,AN旁有一矩形花园ABCD,现欲将其扩建成一个更大的三角形花园APQ,要求点B,P在射线AM上,点D,Q在射线AN上

16、,且PQ过点C,其中AB=30 m,AD=20 m,如图,记三角形花园APQ的面积为S(单位:m2). (1)当DQ的长度是多少时,S最小?并求S的最小值; (2)要使S不小于1 600,则DQ的长应在什么范围内?,三、解答题（共15分）,解析(1)设DQ=x m(x0),则AQ=(x+20)m, =,=,AP= m, 则S=APAQ=151 200,当且仅当x=20时取等号, DQ长为20 m时,S取到最小值1 200. (2)S1 600,1 600,即3x2-200 x+1 2000, 0x或x60, 即要使S不小于1 600,则DQ长的取值范围是0 mDQ m或DQ60 m.,答案D由

17、题设条件:x1R,存在唯一的x2R,使得f(x1)=f(x2),知f(x)在(-,0)和(0,+)上单调,得b=3,且a0.由f(2a)=f(3b)知2a2+3=+3,解之得a=-,故a+b=-+3.,2.(2016内蒙古包头一模,10)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)且在0,2上为增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4的值为() A.8B.-8C.0D.-4,答案Bf(x-4)=-f(x),f(x-8)=f(x), 函数f(x)是以8为周期的周期函数, 又由 f(x-4)=-f(x)可得f(x+2

18、)=-f(x+6)=-f(x-2),因为f(x)是奇函数,所以f(x+2)=-f(x-2)=f(2-x),所以f(x)的图象关于x=2对称,结合在0,2上为增函数,可得函数的大致图象如图,由图可看出,四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为2(-6),另两个交点的横坐标之和为22,所以x1+x2+x3+x4=-8.故选B.,3.(2016江西三校第一次联考,16)若函数y=f(x)对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立,则称该函数为“依赖函数”.给出以下命题: y=是“依赖函数”; y=+sin x,x是“依赖函数”; y=2x是“依赖函数”; y

19、=ln x是“依赖函数”; y=f(x),y=g(x)都是“依赖函数”,且定义域相同,则y=f(x)g(x)是“依赖函数”. 其中所有真命题的序号是.,二、填空题（每题5分，共10分）,答案,解析在中,若x1=2,则f(x1)=. 此时由f(x1)f(x2)=1,可得f(x2)=4,x2=,不唯一,所以命题错误. 在中,两个函数都是单调的,且函数值中没有零,每取一个x1,f(x1)f(x2)=1都有唯一的x2值,所以都是真命题. 在中,当x1=1时,f(x1)=0,此时f(x1)f(x2)=1无解,所以是假命题. 在中,若f(x)=(x0),g(x)=(x0), 则y=f(x)g(x)=,其不

20、是“依赖函数”,所以是假命题.故所有真命题的序号是.,4.(2015河北衡水中学三模,16)对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0),给出定义:设f (x)是函数f(x)的导函数, f (x)是函数f (x)的导函数,若方程f (x)=0有实数解x0,则称点(x0, f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,且该“拐点”也为该函数的对称中心.设函数g(x)=x3-x2+3x-,则g+g+g=.,答案2 014,解析依题意得g(x)=x2-x+3,g(x)=2x-1,由g(x)=0,即2x-1=0,可得x=,而g=1,故函数g(x)

21、的“拐点”为,故g(1-x)+g(x)=2, 所以g+g=g+g=g+g=2,所以原式=2= 2 014.,5.(2017江西抚州七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P(单位:万元),种黄瓜的年收入Q(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=80+4,Q=a+120.设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的 总收益为f(x)(单位:万元). (1)求f(50)的值; (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?,三、解答题（共30分）,解析(1)因为甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,所以f(