高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 直接证明与间接证明 反证法导学案 新人教A版选修

1、直接证明与间接证明 反证法学习目标：1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点2感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用1.教学重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤2.教学难点：应用反证法解决问题方 法：合作探究思维导航我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反证法的原理，用反证法证题的注意事项是怎样的呢？一新知导学1反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出_，因此说明假设_，从而证明了原命题_，这样的证明方法叫做反证法反证法是间接证明的一种基本方法2反证法证题的原理(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”(2)用反证法解题的

2、实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确3反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与_矛盾，或与_矛盾，或与_、事实矛盾等4反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)_以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，_的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题牛刀小试1用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方

3、程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根2设a、b、c都是正数，则三个数a、b、c()A都大于2B至少有一个大于2C至少有一个不小于2D至少有一个不大于23应用反证法推理过程中要把下列哪些作为条件使用()结论的否定，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论ABC D4. 如图所示，在ABC中，ABAC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上 2 例题分析例1 求证：若两条平行直线a、b中的一条与平面相交，则另一条也与平面相交例2 设a、b、c都是小于1的正数，求证(1a)b、(1b

4、)c、(1c)a三个数不可能同时大于.例3求证：方程2x3有且只有一个根例4已知函数f(x)ax(a1)用反证法证明方程f(x)0没有负数根3 作业一、选择题1命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()A有两个内角是直角B有三个内角是直角C至少有两个内角是直角D没有一个内角是直角2实数a、b、c不全为0等价于()Aa、b、c均不为0Ba、b、c中至多有一个为0Ca、b、c中至少有一个为0Da、b、c中至少有一个不为03如果两个数之和为正数，则这两个数()A一个是正数，一个是负数B都是正数C不可能有负数D至少有一个是正数4若a、b、cR，且abbcca1，则下列不等式成立的是()A

5、a2b2c22 B(abc)23C2 Dabc(abc)5用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60时，应假设()A三个内角都不大于60B三个内角都大于60C三个内角至多有一个大于60D三个内角至多有两个大于606若ab0，则下列不等式中总成立的是()Aab BCab D二、填空题7“x0且y0”的否定形式为_.8和两条异面直线AB、CD都相交的两条直线AC、BD的位置关系是_.9在空间中有下列命题：空间四点中有三点共线，则这四点必共面；空间四点，其中任何三点不共线，则这四点不共面；垂直于同一直线的两直线平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形其中真命题是_.三、解答题10若函数f

6、(x)在区间a，b上的图象连续不断开，f(a)0，且f(x)在a，b上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点答案例1解析不妨设直线a与平面相交，b与a平行，从而要证b也与平面相交假设b不与平面相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面内由ab，a平面，得a平面，与题设矛盾(2)b平面.则平面内有直线b，使bb.而ab，故ab，因为a平面，所以a平面，这也与题设矛盾综上所述，b与平面只能相交例2解析假设三个数都大于，即(1a)b，(1b)c，(1c)a，三个数相乘，得(1a)b(1b)c(1c)a.又因为(1a)a()2，(1b)b，(1c)c，所以(1a)a(1b)b(1c)c.这与假设矛盾，因此假设不成立所以(1a)b(1b)c(1c)a不可能同时大于.例3解析显然xlog23是方程的一根，假设方程2x3有两个根b1、b2(b1b2)则2b13,2b23.两式相除，得2b1b21.b1b2，b1b20.如果b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾如果b1b20，则2b1b2x01时，1x010，3，12.而ax0x01的解2当x01时，x010，0，10，矛盾，即不存在x01的解综上所述方程f(x)0没有负数根作业CDDBBA7x0或y0 8异面 910解析由于f(x)