高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判定教案 新人教A版必修

1、2.3.1 直线与平面垂直的判定教学目标1.探究直线与平面垂直的判定定理，培养学生的空间想象能力.2.掌握直线与平面垂直的判定定理的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力.3.让学生明确直线与平面垂直在立体几何中的地位.教学重、难点教学重点:直线与平面垂直的判定.教学难点:灵活应用直线与平面垂直判定定理解决问题.教学准备多媒体课件教学过程导入新课 如果一条直线垂直于一个平面的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？举例说明. 如图1，直线AC1与直线BD、EF、GH等无数条直线垂直，但直线AC1与平面ABCD不垂直.图1提出问题探究直线与平面垂直的定义和画法.探究直线与平面垂直的判定定理.

2、用三种语言描述直线与平面垂直的判定定理.探究斜线在平面内的射影，讨论直线与平面所成的角.探究点到平面的距离.活动:问题引导学生结合事例观察探究.问题引导学生结合事例实验探究.问题引导学生进行语言转换.问题引导学生思考其合理性.问题引导学生回忆点到直线的距离得出点到平面的距离.讨论结果：直线与平面垂直的定义和画法：教师演示实例并指出书脊（想象成一条直线）、各书页与桌面的交线，由于书脊和书页底边（即与桌面接触的一边）垂直，得出书脊和桌面上所有直线都垂直，书脊和桌面的位置关系给了我们直线和平面垂直的形象.从而引入概念：一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，我们说这条直线和这个平面互相垂直，直线叫做平

3、面的垂线，平面叫做直线的垂面.过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.平面的垂线和平面一定相交，交点叫做垂足.直线和平面垂直的画法及表示如下：如图2，表示方法为：a. 图2 图3如图3,请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起做一个实验：过ABC的顶点A翻折纸片，得折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD,DC与桌面接触）.(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在的平面垂直.如图4.(1) (2)图4 所以，当折痕AD垂直平面内的一条直线时，折痕AD与

4、平面不垂直，当折痕AD垂直平面内的两条直线时，折痕AD与平面垂直.直线和平面垂直的判定定理用文字语言表示为： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 直线和平面垂直的判定定理用符号语言表示为：l.直线和平面垂直的判定定理用图形语言表示为：如图5, 图5 图6斜线在平面内的射影.斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.斜足：斜线和平面的交点.斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影. 直线与平面相交，直线与平面的相互位置类同于两条相交直线，也需要用角来表示，但

5、过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线l与平面内的线a、b所成的角是不相等的.为了定义的确定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描述其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角. 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. 特别地：如果一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角. 一条直线和平面平行或在平面内，我们说它们所成的角为0.如图6，l是平面的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是的垂线，点B是垂足，所以直线OB（记作l）是l在内的射影，AOB（记作）是l与所成的角. 直线和平面所成的角

6、是一个非常重要的概念，在实际中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目标，也即射程为多远？又如铅球运动员在投掷时，以多大的角度投掷，投出的距离最远？点到平面的距离:经过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.点到平面的距离：垂线段的长叫做点到平面的距离.应用示例例1 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.解：已知ab，a.求证：b.图7证明：如图7,在平面内作两条相交直线m、n，设mn=A.*变式训练 如图8,已知点P为平面ABC

7、外一点，PABC，PCAB，求证：PBAC.图8证明：过P作PO平面ABC于O，连接OA、OB、OC.PO平面ABC，BC平面ABC，POBC.又PABC，BC平面PAO.又OA平面PAO，BCOA.同理,可证ABOC.O是ABC的垂心.OBAC.可证POAC.AC平面PBO.又PB平面PBO，PBAC.点评：欲证线面垂直需要转化为证明线线垂直，欲证线线垂直往往转化为线面垂直.用符号语言证明问题显得清晰、简洁.例2 如图9,在正方体ABCDA1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.图9活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的

8、学生提示引导考虑问题的思路.解：连接BC1交B1C于点O，连接A1O.设正方体的棱长为a，因为A1B1B1C1,A1B1B1B,所以A1B1平面BCC1B1.所以A1B1BC1.又因为BC1B1C，所以BC1平面A1B1CD.所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.在RtA1BO中,A1B=,BO=,所以BO=,BA1O=30.因此,直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30.变式训练 如图10，四面体ABCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC所成的角的正弦值.图10解：过A作AO面BCD，连接OD、OB、OC，则可证O是BCD的中心,作QPOD,QPAO,QP面BCD.连接CP，则QCP即为所求的角.设四面体的棱长为a，在正ACD中，Q是AD的中点,CQ=.QPAO，Q是AD的中点,QP=，得sinQCP=.点评：求直线与平面所成的角，是本节的又一重点，作线面角