第十四讲 面积计算

1、第十四讲 面积计算计算图形的面积要用面积公式，对于一些复杂的图形有意识地运用运动变化的观点，将平面图形简单地变动位置，可以化繁为简，化难为易，从而获得最佳解法。例1：（如图一）已知三角形ABC的面积为1，BE=2AB，BC=CD，求三角形BDE的面积。 分析 利用已给的线段间的比例关系、已给的三角形的面积以及三角形的面积公式，设法把三角形BDE划分成一些与三角形ABC的面积成相应比例的三角形，这样，三角形BDE的面积就能求得了。解：见图二，连结CE，对于三角形ABC与三角形BEC，分别把A B和BE看成底，那么它们的高相等。此外，BE=2AB，根据三角形面积公式S=ah可知， SBED=2SA

2、BC=2显然，三角形BEC和三角形CED是两个等底（BC=CD）、等高的三角形，因此 SCED=SBEC=2这样，SBDE=SBECSCED=4例2：求图三中阴影部分的面积（大圆直径为2，单位：厘米）。 图 三 图 四分析 解题时可以先将图形下半部分翻转拼接为图四，然后将图中的小圆移至中心。从图中不难看出求原图中阴影部分的面积就是求一个圆环的面积。解：大圆半径：22=1（厘米） 小圆半径：12=0.5（厘米） 阴影面积：3.14(120.52)=2.355（平方厘米）答：阴影部分的面积是2.355平方厘米。例3：如下图，在图中三角形ABE、ADF和四边形AECF的面积相等，求三角形AEF的面积

3、。分析 三角形AEF的面积等于四边形AECF的面积减去三角形ECF的面积，因为长方形ABCD的面积等于三角形ABE、ADF和四边形AECF的面积和，而这三者的面积又相等，所以四边形AECF的面积等于长方形面积的。由于长方形ABCD的长、宽分别为9厘米和6厘米，因此很容易求出它的面积，所以解题的关键在于求出三角形ECF的面积。根据三角形面积公式S=ah，已知三角形ABE的面积等于长方形面积的，又知道AB=6厘米，可以求出BE的长度。知道BE的长度就可以求出EC的长度。同理可以求出FC的长度。这样三角形ECF的面积可以求出，使问题得解。解：长方形ABCD的面积：96=54（平方厘米）四边形AECF

4、及三角形ABE、AFD的面积相等，是： 54=18（平方厘米）；EC的长度：91826=3（厘米）FC的长度：61829=2（厘米）三角形AEF的面积：18322=15（平方厘米）。答：三角形AEF的面积是15平方厘米。例4：如下图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等，求扇形所在的圆面积。 分析 因为ABC是等腰直角三角形，所以AC=BC，A=B=45。因为S甲=S乙，即SABC的面积等于以AE为半径，圆心角是45的扇形面积。根据已知条件，可求出三角形ABC的面积从而可求出圆面积。解：三角形ABC的面积：=50（平方厘米）；周角

5、是45圆心角的几倍？36045=8；圆面积：508=400（平方厘米）。答：扇形所在的圆面积是400平方厘米。例5：如下图，从一个正方形的木板上锯下宽为米的一块长方形木条以后，剩下的面积是平方米。问锯下木条的面积是多少平方米？分析 利用一种称之为“弦图”的求面积的方法，用“弦图”计算面积最主要的是掌握“弦图”的特点。其一：大正方形边长=长方形长x长方形宽y。其二：小正方形的边长=长方形的长x长方形的宽y。解题时先把四个面积为的长方形（即题中锯下一木条后剩下的那个长方形）拼成一个正方形（如下图）。由于每个长方形的长比宽长米，所以中间小正方形边长是米，从而可求出拼成后正方形的总面积，进而确定正方形

6、的边长。解：拼成后大正方形的面积：（平方米）大正方形的边长： =（）2， 大正方形的边长为米。长方形的长（即长方形木条的条）： 长宽=（米），长宽=（米）， 长=（）2=（米）锯下木条的面积：=（平方米）。答：锯下木条的面积是平方米。例6：一块长方形钢板，长截下4分米，宽截下1分米后，成了一块正方形钢板，面积比原来减少了49平方分米。原来长方形钢板的面积是多少平方分米？ 分析 初看起来，图中长方形长和宽，正方形的边长都不知道，无法求出长方形的面积，能否用特殊的方法思考呢？审题后发现长方形的长、宽和面积都和正方形有关系。图中阴影部分，如果添一条“辅助线”，如下页图（1）或图（2），把它分解成两个

7、长方形。以下页图（2）为例，记正方形的边长为x分米，带阴影的小长方形长为（x4）分米，宽为1分米，带阴影的大长方形长为x分米，宽为4分米。“面积比原来（长方形）减少了49平方分米”，也就是大长方形阴影部分面积小长方形阴影部分面积=阴影部分总面积=49平方分米，用方程解。 解：设正方形边长为x分米。 （x4）14x=49 x44x=49 5x=45 x=99949=130（平方分米）答：长方形钢板面积为130平方分米。例7：ABCD为任意四边形，其中AE=AB，BF=BC，CG=CD，DH=DA，连结E、F、G、H。求四边形EFGH的面积与四边形ABCD的面积之比。 解：连结ED和BD，得知SA

8、EH=SAEDSAED=SADB，所以SAEH=SABD=SABD，同理，SCGF=SBCD，因此，SAEHSCGF=（SABDSBCD）=SABCD，同理，SBFESDHG=SABCD，所以，SAEHSCGFSBFESDHG=SABCD。所以，SEFGH=（1）SABCD= SABCD即四边形EFGH的面积：四边形ABCD的面积=5：9。例8：如图，已知三角形ABC三条高必定交于一点，如记成P点，请你讲明为什么成立？ 分析与解答 从图中可以看出，PBC和ABC是同底的两个三角形，它们的面积之比等于它们对应高的比，所以SPBC：SABC=PD：AD，同理可得：SPCA：SABC=PE：BE，SPAB：SABC=PF：CF所以SPBC：SABCSPCA：SABCSPAB：SABC =又因为SPBCSPCASPAB=SABC因此。习 题 十 四1 下图是一个圆心角为45的扇形，其中直角三角形BOC的直角边为6厘米，求阴影部分面积。 2 在下图中，阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积大10.5平方厘米，求线段BC的长度。 3 一个直径为10厘米的圆，圆内有一个扇形，扇形