高考数学人教鲁京津专理一轮复习课件第八章立体几何与空间向量8.6

1、第八章立体几何与空间向量,8.6空间向量及其运算,内容索引,基础知识 自主学习,题型分类 深度剖析,易错警示系列,思想方法 感悟提高,练出高分,基础知识自主学习,1.空间向量的有关概念,0,1,相同,相等,相反,相等,平行或重合,平面,知识梳理,1,答案,2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a(a0)与b共线的充要条件是存在实数，使得ba. 推论如图所示，点P在l上的充要条件是 ta,答案,1,(3)空间向量基本定理 如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3，使得a1e12e23e3，空间中不共面的三个向量e1，e2

2、，e3叫作这个空间的一个基底.,xayb,答案,互相垂直,3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角,a，b,0a，b,答案,两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则叫做向量a，b的数量积，记作，即ab .,|a|b|cosa，b,ab,|a|b|cosa，b,(2)空间向量数量积的运算律 结合律：(a)b ； 交换律：ab ； 分配律：a(bc).,(ab),ba,abac,答案,4.空间向量的坐标表示及其应用 设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).,a1b1a2b2a3b3,a1b1，a2b2，a3b3,a1b1a2b2a3b30,答案,判断下面结

3、论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面.() (2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc).() (3)对于非零向量b，由abbc，则ac.() (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.(),思考辨析,答案,A,1,2,3,4,5,解析答案,解析答案,1,2,3,4,5,答案A,解析答案,1,2,3,4,5,4.(教材改编)已知a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6，且ab，则xy的值为_.,1或3,解析答案,1,2,3,4,5,5.(教材改编)正四面体ABCD棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为_.,1222122(12

4、cos 120021cos 120) 2，,解析答案,1,2,3,4,5,返回,题型分类深度剖析,空间向量的线性运算,题型一,解析答案,答案B,(2)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点.,解析答案,解析答案,引申探究,解析答案,解析如图所示，,解析答案,思维升华,思维升华,用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.,跟踪训练1,解析答案,例2 已知E、

5、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点， (1)求证：E、F、G、H四点共面；,共线定理、共面定理的应用,题型二,解析答案,由共面向量定理的推论知： E、F、G、H四点共面.,证明如图，连接BG，,(2)求证：BD平面EFGH；,所以EHBD. 又EH平面EFGH，BD平面EFGH， 所以BD平面EFGH.,解析答案,解析答案,思维升华,证明找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，如图所示.,所以四边形EFGH是平行四边形. 所以EG，FH交于一点M且被M平分.,思维升华,思维升华,如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B上的点，F是AC

6、上的点，且A1E2EB，CF2AF，则EF与平面A1B1CD的位置关系为_.,且EF平面A1B1CD，DB1平面A1B1CD， 所以EF平面A1B1CD.,平行,跟踪训练2,解析答案,例3如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点. (1)求证：MNAB，MNCD；,空间向量数量积的应用,题型三,解析答案,由题意可知，|p|q|r|a，且p、q、r三向量两两夹角均为60.,(2)求MN的长；,解析答案,(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.,解析答案,思维升华,解析答案,思维升华,思维升华,思维升华,数量积的应用 (1)求夹角，设向量a，b所

7、成的角为，则cos ，进而可求两异面直线所成的角. (2)求长度(距离)，运用公式|a|2aa，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题. (3)解决垂直问题，利用abab0(a0，b0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.,如图所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面为平行四边形，以 顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60. (1)求AC1的长；,跟踪训练3,解析答案,(2)求证：AC1BD；,ab|b|2bc|a|2abac bcac |b|c|cos 60|a|c|cos 600. ，AC1BD.,解析答案,(3)求BD1与AC夹角的余弦值.,b2a2acbc1

8、.,解析答案,返回,易错警示系列,典例已知向量a(1,2,3)，b(x，x2y2，y)，并且a，b同向，则x，y的值分别为_.,易错分析将a，b同向和ab混淆，没有搞清ab的意义：a、b方向相同或相反.,易错警示系列,12.“两向量同向”意义不清致误,易错分析,解析答案,返回,温馨提醒,把代入得x2x20，(x2)(x1)0， 解得x2或x1， 当x2时，y6；当x1时，y3.,两向量a，b反向，不符合题意，所以舍去.,答案1,3,返回,温馨提醒,温馨提醒,(1)两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况.两向量同向能推出两向量平行，但反过来不成立，也就是说，“两向量同向”是“两向

9、量平行”的充分不必要条件；(2)若两向量a，b满足ab(b0)且0则a，b同向；在a，b的坐标都是非零的条件下，a，b的坐标对应成比例.,返回,思想方法感悟提高,1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题. 3.利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题.,方法与技巧,1.向量的数量积满足交换律、分配律，即abba，a(bc)abac成立，但(ab)ca(bc)不一定成立. 2.求异面直线所成

10、的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.,失误与防范,返回,练出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,1.在下列命题中： 若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行； 若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； 若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面； 已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc. 其中正确命题的个数是(). A.0 B.1 C.2 D.3,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,解析a

11、与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确； 根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误； 三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确； 只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A. 答案A,15,2.已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为(),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析由题意知a(ab)0，即a2ab0， 所以1470，解得2.,D,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13

12、,14,15,3.(2014广东)已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是() A.(1,1,0) B.(1，1,0) C.(0，1,1) D.(1,0,1),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,因为0a，b180，所以a，b120.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案B,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1

13、2,13,14,15,5.已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则异面直线a，b所成的角等于() A.30 B.45 C.60 D.90,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案C,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,a(cb)b(ac)c(ba) acabbabccbca 0.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,方法二如图，在三棱锥ABCD中，不妨

14、令其各棱长都相等，则正四面体的对棱互相垂直.,答案0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,所以CBD为锐角. 同理BCD，BDC均为锐角.,锐角,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析 如图所示，取BC的中点E，连接AE.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(1)求向量a与向量b的夹角的余弦值； 解a(1,1,0

15、)，b(1,0,2)， ab(1,1,0)(1,0,2)1，,解析答案,(2)若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解 方法一kab(k1，k,2). ka2b(k2，k，4)， 且kab与ka2b互相垂直， (k1，k,2)(k2，k，4) (k1)(k2)k280，,当kab与ka2b互相垂直时，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(kab)(ka2b)k2a2kab2b2,1,2,3

16、,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,10.如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点，且AEBFx，其中0 xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. (1)写出点E、F的坐标；,解E(a，x,0)，F(ax，a,0).,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,(2)求证：A1FC1E； 证明A1(a,0，a)，C1(0，a，a)，,A1FC1E.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1

17、1,12,13,14,15,证明A1、E、F、C1四点共面，,即(x，a，a)1(a，a,0)2(0，x，a) (a1，a1x2，a2)，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,11.已知a，b，c是空间的一个基底，ab，ab，c是空间的另一个基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(4,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标是() A.(4,0,3) B.(3,1,3) C.(1,2,3) D.(2,1,3),解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,1

18、2,13,14,15,解析设p在基底ab，ab，c下的坐标为x，y，z. 则px(ab)y(ab)zc (xy)a(xy)bzc， 因为p在a，b，c下的坐标为(4,2,3) p4a2b3c，,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,即p在ab，ab，c下的坐标为(3,1,3).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,|b(xe1ye2)|2|b|2(xe1ye2)22b(xe1ye2)|b|2x2y2xy4x5y，要使|b|2x2y2xy4x5y取得最小值，需要把x2y2xy4x5y看成关于x的二次函数，,解析方法一对于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，说明当xx0，yy0时，|b(xe1ye2)|取得最小值1.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,解析答案,1,2,3,4,5,6,7