高一数学人教A必修4课件2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义二1

1、第二章,平面向量,学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.,2.4平面向量的数量积 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(二),1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接 1.向量数乘的运算律有哪些？ 答(1)(a)()a. (2)()aaa. (3)(ab)ab. 特别地，有()a(a)(a)； (ab)ab.,2.向量的线性运算 向量的 、 、 运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a、b，以及任意实数、1、2，恒有_ _.,加,减,数乘,(1a2b),

2、1a2b,预习导引 1.向量的数量积(内积) |a|b|cosa，b叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab|a|b|cosa，b.|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影.,2.向量数量积的性质 设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. (1)aeea|a|cosa，b； (2)abab 且ab ab；,0,0,(5)|ab| |a|b|.,3.向量数量积的运算律 (1)abba(交换律)； (2)(a)b(ab)a(b)(结合律)； (3)(ab)cacbc(分配律).,要点一向量数量积运算律有关概念 例1给出下列结论： 若a0，

3、ab0，则b0；若abbc，则ac； (ab)ca(bc)；ab(ac)c(ab)0.其中正确结论的序号是_.,解析因为两个非零向量a、b垂直时，ab0，故不正确； 当a0，bc时，abbc0，但不能得出ac，故不正确； 向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故不正确； ab(ac)c(ab)(ab)(ac)(ac)(ab)0，故正确. 答案,规律方法向量的数量积ab与实数a、b的乘积ab有联系，同时也有许多不同之处. 例如，由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(ab)ca(bc).,跟踪演练1设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列

4、结论： acbc(ab)c； (bc)a(ca)b不与c垂直； |a|b|ab|； (3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2. 其中正确的序号是_.,解析根据向量积的分配律知正确； (bc)a(ca)bc (bc)(ac)(ca)(bc)0， (bc)a(ca)b与c垂直，错误； a，b不共线，所以|a|、|b|、|ab|组成三角形三边，,|a|b|ab|成立，正确； 正确.故正确命题的序号是. 答案,要点二向量数量积运算律综合应用 例2已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b). 解(a2b)(a3b)aaab6bb|a|2ab6|b|2 |a|2|a|b|cos

5、 6|b|26264cos 6064272.,规律方法熟练掌握两向量的数量积定义及运算性质是解决此类问题的关键.计算形如(manb)(paqb)的数量积可仿多项式乘法的法则展开计算，再运用数量积定义和模的公式化简求解.,跟踪演练2已知向量a与b的夹角为120，且|a|4，|b|2，求： (1)(2ab)(a3b)； 解 (2ab)(a3b)2a26abab3b2 2|a|25ab3|b|2 216542cos 120340.,(2)|3a4b|. 解|3a4b|2(3a4b)29a224ab16b2 91624(4)1641619，,例3已知|a|3，|b|4，且a与b不共线，k为何值时，向量

6、akb与akb互相垂直. 解akb与akb互相垂直的条件是 (akb)(akb)0，即a2k2b20. |a|3，|b|4， 916k20，,规律方法向量a，b的夹角为锐角的等价条件是ab0且a与b不同向共线；ab夹角为钝角的等价条件是ab0且a与b不反向共线；a与b垂直的等价条件是ab0.,跟踪演练3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角. 解e1ke2与ke1e2的夹角为锐角，,k0. 但当k1时，e1ke2ke1e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 综上，k的取值范围为k0且k1.,1,2,3,4,1.下面给出的关系式中正确的个数是

7、() 0a0；abba；a2|a|2；|ab|ab；(ab)2a2b2. A.1 B.2 C.3 D.4 解析正确，错误，错误，(ab)2(|a|b|cos )2a2b2cos2 a2b2，选C.,C,1,2,3,4,解析|ab|2(ab)2a22abb210， |ab|2(ab)2a22abb26， 将上面两式左右两边分别相减，得4ab4， ab1.,A,1,2,3,4,3.若非零向量a，b满足|a|b|，(2ab)b0，则a与b的夹角为() A.30 B.60 C.120 D.150 解析由(2ab)b0，得2abb20， 设a与b的夹角为， 2|a|b|cos |b|20.,1,2,3,4,120.,答案C,1,2,3,4,4.已知a，b，c为单位向量，且满足3ab7c0，a与b的夹角为，则实数_. 解析由3ab7c0，可得7c(3ab)， 即49c29a22b26ab， 而a，b，c为单位向量，则a2b2c21，,1,2,3,4,答案8或5,课堂小结,1.数量积对结合律一般不成立,因为(ab)c|a|b|cosa，bc是