(复习用)集合简易逻辑.ppt

1、,在近几年江苏高考中，本章主要考查集合与集合之间的运算，以集合的交、并、补运算为重点；逻辑联结词与充要条件，以充要条件为重点. 高考试题加强了对集合的计算、化简，并由有限集向无限集发展集合思想的运用在高考中几乎年年必考，一般属容易题，主要以基本题型为主，大多数是填空题，有时以集合为载体，结合其它数学知识构成综合体，属较难题由于集合作为整个高中数学的基础，对本章内容的考查将更灵活，但主要是作为一种基础性、工具性知识来考查,要会利用数轴的直观性研究数集的交、并、补问题，注意韦恩图(Venn)在表达集合的关系及运算中的使用. 灵活运用集合观点去研究和解决数学问题，以考查考生的推理技能、发展学生的思维

2、能力为考查要点. 要注意逻辑联结词“或”、“且”、“非”与集合中的“并”、“交”、“补”是相关的，二者相互对照可加深对双方的认识和理解复习逻辑知识时，要抓住所学的几个知识点，通过解决一些简单的问题达到理解、掌握逻辑知识的目的所以要从基础知识抓起，突出准确使用数学语言的能力,第一节集合,1集合的表示法： 、 、 2集合元素的特征： 、 、 3子集：AB如果任意 .,列举法,描述法,图形表示法,确定性,互异性,无序性,xA，则xB,5元素与集合的关系：有 两种，集合与集合间的关系 用,与,、,6主要性质和运算律 AA，A，AU，UAU， AB，BC ；AB ，AB ； ABA，ABB. ABAB

3、AB (UA)B ABBA；ABBA. A ，A ，UA ，UA AA ，AA . AUA AUA U(UA) (UA)(UB) (UA)(UB),AC,A,B,A,B,U,A,A,U,A,U(AB),U(AB),A,A,U,7集合的子集个数：设含有n个元素的集合A，则A的子集个数为2n；A 的真子集个数为 ；A的非空子集个数为 ；A的非空真子集个数为 .,2n1,2n1,2n2,1已知全集UR，集合Ax|2x3，Bx|x4，那么集合A(UB)等于_ 【答案】x|1x3 2集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，则a的值为_ 【解析】A0,2，a，B1，a2，AB0,1,2,

4、4,16，a4. 【答案】4 3设全集U0,1,2,3,4，A0,3,4，B1,3，则U(AB)_. 【答案】2 4集合a2，ab,0，则a2 011b2 010的值为_ 【解析】由于a不能取0，则b0，则a21，又a不能取1，则a1. 【答案】 1,5设集合Px|x2x60，集合Qx|xa0，PQ，则实数a的取值范围为_ 【解析】由P，Q化简可得：P(2,3)，Qa，) PQ，a2. 【答案】(，2 6已知集合Ax|x2axa2190，Bx|x25x60，Cx|x22x80，求a取何实数值时， AB与AC同时成立？ 【解】B2,3，C4,2，由于AB与AC同时成立，必有3A且2A成立 即，解

5、得a2.,集合的含义与表示,弄清元素与集合之间的关系，明确元素的特性，当集合中元素含有参数时，要注意元素的互异性与无序性,已知集合Ax|ax23x20，aR,(1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并将这个元素写出来； (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 【点拨】集合A中只有一个元素，应分成两种情况：一是方程ax23x20为一元一次方程；二是ax23x20为一元二次方程，且它有两个相等的实数根集合A中至多有一个元素，说明集合A中要么只有一个元素，要么没有元素因此(3)中a的取值范围是(1)(2)中的并集,【解】(1)若A是空集，则98a； (2)若A中只

6、有一个元素，则98a0或a0，解得a或a0； 当a时，这个元素是；当a0时，这个元素是. (3)由(1)(2)知，当A中至多有一个元素时，a的取值范围是a或a0.,集合间的基本关系,处理集合之间的“包含”与“相等”关系时，特别要注意“空集是任意集合的子集”在解题中的作用,设Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210， (1)若BA，求a的值； (2)若AB，求a的值 【点拨】若BA时，不要遗漏B时的情况而若AB，集合B只能 与A相等 【解】(1)A0，4， 当B时，4(a1)24(a21)8(a1)0解得a1， 当B为单元素集时，a1，此时B0符合题意；,当BA时，由根与系数的关系得：,

7、综上可知：a1或a1. (2)若AB，必有AB，由(1)知a1.,韦恩图的应用,数形结合是高中数学最常用的数学思想方法之一，在集合中体 现在数轴的应用和韦恩图的应用，而数轴的应用主要是在数集 交、并、补的运算中体现，韦恩图主要是在应用题和一般集合 中运用较广,在100个学生中，有篮球爱好者60人，排 球爱好者65人，求既爱好篮球又爱好排球 的人数的最小值和最大值,图111,在100个学生中，有篮球爱好者60人，排球爱好者65人，求既 爱好篮球又爱好排球的人数的最小值和最大值 【点拨】设AB中有x个元素，利用韦恩图来解决 【解】记全体同学、篮球、排球爱好者分别构成集合全集U、A和 B.既爱好篮球

8、又爱好排球的人构成的集合是AB. 设AB中有x个元素 (60 x)x(65x)100 解得x25.即AB中最少有25个元素，最多有60个元素，则既爱好 篮球又爱好排球的人数的最小值和最大值分别为25和60.,某市数学、物理、化学竞赛时，某班学生有24名参加数 学，28名参加物理，19名参加化学，其中全参加的有7名，只参加数 学、物理两科的5名，只参加物理、化学两科的3名，只参加数学、化 学两科的4名，如果此班级有学生48名，问有几名学生什么竞赛也没 有参加？,图112,【解】由韦恩图112可知：什么竞赛都没有参加的人数48847553133，则有3名学生什么竞赛也没有参加,集合的运算,解决含有

9、参数问题的集合运算，首先要理清题目的要求，弄清集合间 存在的相互关系，并要注意分类讨论、数形结合思想(数轴)的应用,(本题满分14分)已知集合Ax|x26x80，Bx|(xa)(x3a)0 (1)若AB，求a的取值范围； (2)若ABx|3x4，求a的取值范围 【点拨】对于含参数的集合运算，首先要解出不含参数的集合A，然 后要对集合B中的不等式端点3a与a的大小进行分类讨论，再利用数轴 工具，求出三种情形下的a的范围，最后求出它们的并,【解】Ax|20时，则Bx|a0且a3时成立，此时Bx|3x9， 而ABx|3x4，所求a的值为3.(14分),已知集合Ax|0ax15，集合Bx|x2若AB，

10、求实数a的取值范围,【解】A中不等式的解集应分三种情况讨论： 若a0，则AR；,当a0时，若AB，此种情况不存在 当a0时，若AB，如图,，,当a0时，若AB，如图，,综上知，此时a的取值范围是a8或a2.,规律总结,集合元素的确定性、互异性、无序性是解决集合问题的切入点，对于 集合中的整数问题，一要学会列举法解题，二要学会分类讨论对含参的 不等式型集合，要注意空集的情形解决用符号描述法表示的集合问题时 ，弄清集合的元素特征是关键，即集合是表示数集、点集还是图形用图 形表示集合，是抽象问题形象化，正确转化解题的前提在解决两个数集 之间的关系问题时，应合理运用数轴帮助分析与求解用韦恩图处理比较

11、直观，要学会灵活运用韦恩图处理集合问题,(2009北京卷)设A是整数集的一个非空子集，对于kA，如果k1A且k1A， 那么k是A的一个“孤立元”，给定S1,2,3,4,5,6,7,8，由S的3个元素构成的所有 集合中，不含“孤立元”的集合共有_个 【点拨】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分 析问题和解决问题的能力属于创新题型什么是“孤立元”？依题意可知，必须 是没有与k相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素 【解】符合题意的集合是：1,2,3，2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，6,7,8 共6个.,【误区警示】即时(人为)定义的集合创

12、新题型，求解的关键是正确理解新定义的 含义，在解此类习题时容易出现的失误有：一是搞不清“孤立元”的定义，二是列 举时有遗漏，造成结论错误 【命题趋势】集合中的创新题型是近年高考的热点，但难度不大，主要是从集合 的运算出发，如课本中出现的“差集”、近几年高考中出现的“拆分”、“AB” 、“AB”、“A*B”等等，解决它们的关键在于理解它们的含义,学而时习之，不亦说乎？,第二节常用逻辑用语,1逻辑联结词 (1)命题：可以判断 的语句叫做命题 (2)逻辑联结词：“ ”“ ”“ ” (3)复合命题的真假：对p且q而言，当p、q为真时，其为真；当p、q中有一 个为假时，其为 对p或q而言，当p、q均为假

13、时，其为 ；当p、q中至 少有一个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为,真假,或,且,非,假,假,真,2四种命题 (1)四种命题 原命题：若p则q；逆命题：若q则p； 否命题： ；逆否命题： . (2)四种命题之间的相互关系,注：原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题 3充要条件 (1)如果pq，则p叫q的充分条件，q是p的必要条件 (2)充要条件：如果既有pq，又有qp，记作pq，则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件,若綈p则綈q,若綈q则綈p.,注：原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题,3充要条件 (1)如果pq，则p叫q的 条件，q是p的 条件 (2)充要

14、条件：如果既有pq，又有qp，记作pq，则p叫做q的 条件，简称充要条件,4全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有： 常见的存在量词有： (2)“xM，p(x)”的否定为 ， “xM，p(x)”的否定为 ,充分,必要,必要,所有、任意、每一个,有一个、有些、存在一个,“xM，綈p(x)”,“xM，綈p(x)”,1命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 _ 【答案】“若一个数的平方是正数，则它是负数” 2下列命题： “等边三角形的三内角均为60”的逆命题；,“若k0，则方程x22xk0有实根”的逆命题； “全等三角形的面积相等”的否命题； “若ab0，则a0”的逆否命题 其中真命

15、题的个数是_ 【答案】2 3已知a，b是实数，则“a0且b0”是“ab0且ab0”的_ 条件 【解析】对于“a0且b0”可以推出“ab0且ab0”，反之也是成 立的 【答案】充分必要,4已知下列三组条件：(1)A：，B：sin ；(2)A：x1， B：x2(a21)xa20(a为实常数)；(3)A：定义域为R上的函数f(x)满足 f(1)f(2)，B：定义域为R的函数f(x)是单调减函数其中A是B的充分不 必要条件的是_(填写所有满足要求的条件组的序号) 【答案】(1)(2) 5已知命题p：xR，sin x1，则綈p为_ 【答案】xR，sin x1,6已知命题p：xR，x22axa0.若命题p

16、是假命题，求实数a的取值 范围 【解】由命题p是假命题，则它的否定：“xR，x22axa0” 是正确的 则有0，即(2a)241a0，得0a1. 所以实数a的取值范围为(0,1),四种命题,四种命题反映了命题之间的内在联系，应结合具体问题理解其关系产生的过程，尤其是两个等价关系，要善于利用命题的等价关系转化为逆否命题,若a、b、cR，写出命题“若ac0，则ax2bxc0有 两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个 命题的真假 【点拨】原命题与它的逆否命题同为真假，原命题的逆命题与否 命题同为真假，所以对一些命题的真假判断(或证明)，我们可通过 对与它同真假的(具有逆否关系的

17、)命题来判断(或证明) 【解】逆命题“若ax2bxc0(a、b、cR)有两个不相等的实 数根，则ac0”是假命题，如当a1，b3，c2时，方程x2 3x20有两个不等实根x11，x22，但ac20. 否命题“若ac0，则方程ax2bxc0(a、b、cR)没有两个不相 等的实数根”是假命题这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆 命题是假命题,逆否命题“若ax2bxc0(a、b、cR)没有两个不相等的实数根， 则ac0”是真命题因为原命题是真命题，它与原命题等价,否定及其否命题,命题的否定与命题的否命题是两个容易混淆的概念，先要理解它们的含 义，命题的否定与原命题一真一假，而“若p则q”的命题的否命

18、题与原命题 的真假可能相同也可能不同,写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假 (1)若x、y都是奇数，则xy是偶数； (2)若xy0，则x0或y0. 【点拨】“x、y都是奇数”的否定为“x、y不都是奇数”；“或”的否定 为“且” 【解】(1)命题的否定：x、y都是奇数，则xy不是偶数，为假命题 原命题的否命题：若x、y不都是奇数，则xy不是偶数，是假命题 (2)命题的否定：若xy0，则x0且y0，为假命题 原命题的否命题：若xy0，则x0且y0，是真命题,充要条件,充分条件与必要条件是四种命题关系的深化，应当深刻领会充分条 件、必要条件与充要条件的内涵，首先要分清它们的条件与结论，应

19、注 意三种条件是对某种关系而言的，不能孤立地说某条件是充分条件或必 要条件,求证：实系数一元二次方程x2pxq0有两个异号根的充要条件是q0.,【点拨】对于证明充要条件要分两步：一是证明充分性，即从后往前证； 二是证明必要性，即从前往后证 【证明】(1)先证充分性 q0 方程x2pxq0有两个实根，不妨设为x1，x2 x1x2q0， 两个根异号，即方程x2pxq0有两个异号根 (2)再证必要性 方程x2pxq0有两个异号根，设为x1，x2，且x1x20，又x1x2q， q0. 由(1)(2)原命题得证,是否存在实数m，使得2xm0的充分条件,【解】2xm0的充分条件，则x|x3， 则只要1即m

20、2，故存在实数m2时，使2xm0的充分 条件,真值的应用,命题“p或q”的真假为一真则真，“p且q” 的真假为一假则假，綈p与p是 真假对立,(本题满分14分)已知命题p：方程x2mx10有两个不等的负 实数根；命题q：方程4x24(m2)x10无实数根若“p或q”为真命 题，“p且q”为假命题，求m的取值范围 【点拨】先解不等式将命题p与命题q具体化，然后根据“p或q”与“p且 q”的条件可以知道命题p与命题q一真一假，从而求出m的取值范围,【解】由p得： ， 则m2.(4分),由q知：216 (m2)21616(m24m3)0，则1m3.(8分) “p或q”为真，“p且q”为假， p为真，q为假，或p为假，q为真,(12分),解得m3或1m2.(14分),以下两个命题：关于x的不等式x2(a1)xa20的解集是R； 函数f(x)(2a2a1)x是R上的减函数若两个命题中至少有一 个是真命题，求a的取值范围