数值分析作业（3,4,5,6）

1、 数值分析作业(3)思考题：1：（a） 仅当系数矩阵是病态或奇异的时候，不选主元的Gauss消元法才会失败。 (b) 系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的； (c) 两个对称矩阵的乘积依然是对称的； (d) 如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异； (e) 两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵； (f) 一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵； (g) 一个奇异矩阵不可能有LU分解； (h) 奇异矩阵的范数一定是零； (i) 范数为零的矩阵一定是零矩阵；（j） 一个非奇异的对称阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。2: 全主元Gauss消元法与列主元Gauss消元法的基本区

2、别是什么？它们各有什么优点？ 3：满足下面是我什么条件，可以判定矩阵接近奇异？ （a）矩阵的行列式小； （b）矩阵的条件数小； （c）矩阵的范数小； （d）矩阵的条件数大； （e）矩阵的范数大； （f）矩阵的元素小4: Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法相比 (a) 两种的基本差别是什么？(b) 哪种方法更适合并行计算？（c）哪种方法更节省存储空间？（d）Jacobi迭代法是否运算速度更快？ 习题：1对矩阵,试求A的Cholesky分解。 2. 对矩阵 证明：（1）求解以为系数矩阵的线性方程组，Jacobi迭代是收敛的，而Gauss-Seidel迭代发散；（2）求解以为系数矩阵

3、的线性方程组，Jacobi迭代是发散的，而Gauss-Seidel迭代收敛。3.对矩阵 （1） 参数a取什么值时，矩阵是正定的？ （2） a取什么值，求解以为系数矩阵的线性方程组，Jacobi迭代是收敛的。 4. 对矩阵（1） 计算A的所有特征值； （2） 将A（3,3）的值分别改为18.95和19.05；再分别计算矩阵的所有特征值；（3）分析计算结果，并给出你的结论。 数值分析作业（4）思考题：（a）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近的函数。 (b) 对给定的连续函数，构造其三次样条函数插值，则节点数目越多，得到的样条函数

4、越接近被逼近的函数。 (c) 高次的Lagrange插值多项式很常用。 (d) 样条函数插值具有比较好的数值稳定性。 计算题：1 以0.1,0.15,0.2为插值节点，计算的二次 Lagrange插值多项式 ， 比较和，问插值多项式存在定理的结果是否适用本问题？ 2.（1）求在节点 的三次样条插值（）。 （2）对同样的数据做Lagrange多项式插值，并绘图比较二者的差别。 数值分析作业（5）思考题（a） 如果函数在有限的区间上连续，则它的Riemann定积分一定存在。 （b）积分的计算总是好条件问题； （c）代数精度是衡量算法稳定性的重要指标； （d）梯形方法与两个节点的Gauss型方法相比更加精确。习题 1.确定积分公式中的参数，使其有尽可能高的代数精度 （1） （2）2. 取 ，分别用梯形公式和Simpson公式编程计算积分：数值分析作业（5）思考题：（）常微分方程初值问题的解，当右端函数可导是一定存在唯一解。（）显式方法的突出优点是收敛速度快，收敛