高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 方程的根与函数的零点学案（含解析）新人教A版必修

1、31.1方程的根与函数的零点函数的零点提出问题如图为函数f(x)在4,4上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)0的根的个数？提示：方程f(x)0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由题图可知，方程有3个根，即x3，1,2.问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标导入新知1函数的零点对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点2方程、函数、图象之间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点化解疑难函数零点的本质(1)函数的零点

2、的本质是方程f(x)0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数例如函数f(x)x1，当f(x)x10时，仅有一个实数根x1，所以函数f(x)x1有一个零点1，由此可见函数f(x)x1的零点是一个实数1，而不是一个点(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点函数零点的判断提出问题函数f(x)x24x3的图象如图问题1：函数的零点是什么？提示：1,3.问题2：判断f(0)f(2)与f(2)f(4)的符号提示：f(0)3，f(2)1，f(4)3，f(0)f(2)0，f(2)f(4)0.导入新知函数零点的存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连

3、续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根化解疑难对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y.(2)当函数yf(x)同时满足：函数的图象在a，b上是连续曲线；f(a)f(b)0.则可判定函数yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个(3)当函数yf(x)的图象在a，b上是连续的曲线，但是不满足f(a)f(b)0时，函数yf(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点求函数的零点例1(1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出

4、(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)2x3；(4)f(x)1log3x.解(1)令0，解得x3，所以函数f(x)的零点是x3.(2)令x22x40，由于22414120，所以方程x22x40无实数根，所以函数f(x)x22x4不存在零点(3)令2x30，解得xlog23.所以函数f(x)2x3的零点是xlog23.(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x的零点是x3.类题通法函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)0.若方程f(x)0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点活

5、学活用判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1)f(x)x24x4；(2)f(x)；(3)f(x)4x5；(4)f(x)log3(x1)解：(1)令x24x40，解得x2，所以函数的零点为x2.(2)令0，解得x1，所以函数的零点为x1.(3)令4x50，则4x50，无解，即方程4x50无实数根，所以函数不存在零点(4)令log3(x1)0，解得x0，所以函数的零点为x0.判断函数零点所在的区间例2(1)二次函数f(x)ax2bxc(xR)的部分对应值如表：x32101234y6m4664n6不求a，b，c的值，判断方程ax2bxc0的两根所在的区间是()A(3，1)和(2,4)B(3，

6、1)和(1,1)C(1,1)和(1,2)D(，3)和(4，)(2)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内解析(1)利用f(a)f(b)0，f(1)40，在(3，1)内必有根又f(2)40，在(2,4)内必有根(2)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，abc，f(a)0，f(b)0，f(c)0，f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，

7、c)内答案(1)A(2)A 类题通法确定函数零点所在区间的方法确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反活学活用在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A.B.C. D.解析：选C显然f(x)为定义域R上的连续函数如图，作出yex与y34x的图象，由图象知函数f(x)ex4x3的零点一定落在区间内，又f20，f10，故选C.判断函数零点的个数例3(1)函数f(x)ln x的零点的个数是()A0 B1C2 D3(2)判断函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数解(1)选C在同一坐标系中画出yln x与y的图象，如

8、图所示，函数yln x与y的图象有两个交点，所以函数f(x)ln x的零点个数为2.(2)法一：f(0)10210，f(x)在(0,2)上必定存在零点，又f(x)2xlg(x1)2在(0，)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点法二：在同一坐标系中作出h(x)22x和g(x)lg(x1)的草图由图象知g(x)lg(x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x)2xlg(x1)2有且只有一个零点类题通法判断函数零点个数的方法判断函数零点的个数主要有以下几种方法：方法一：直接求出函数的零点进行判断；方法二：结合函数图象进行判断；方法三：借助函数的单调性进行判断若函数f(x)在区间a

9、，b上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)f(b)0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.所以函数没有零点，故选A.答案A易错防范1函数的定义域决定了函数的一切性质，分析函数的有关问题时必须先求出定义域，通过作图，可知函数f(x)x的图象不是连续的若忽视该特征，易由f(1)0，得出错误的答案B.2零点存在性定理成立的条件有两个：一是函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；二是f(a)f(b)0时，令2ln x0，解得xe2，所以函数f(x)有2个零点随堂即时演练1函数f(x)log3x82x的零点一定位于区间()A(5,6)B(3,4)C(2,3)

10、 D(1,2)解析：选Bf(3)log3382310，f(4)log34824log340.又因为f(x)在(0，)上为增函数，所以其零点一定位于区间(3,4)2函数f(x)ax2bxc，若f(1)0，f(2)0，则f(x)在(1,2)上的零点()A至多有一个 B有一个或两个C有且仅有一个 D一个也没有解析：选C若a0，则f(x)bxc是一次函数，由f(1)f(2)0得零点只有一个；若a0，则f(x)ax2bxc为二次函数，如有两个零点，则必有f(1)f(2)0，与已知矛盾3已知函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_解析：由题意知，方程x2axb0的两根

11、为2,3，即a5，b6，方程bx2ax16x25x10的根为，即为函数g(x)的零点答案：，4函数f(x)3xx5的零点x0a，b，且ba1，a，bN*，则ab_.解析：ba1，a，bN*，f(1)31510，f(2)92560，f(1)f(2)0，ab3.答案：35求函数f(x)log2xx2的零点的个数解：令f(x)0，即log2xx20，即log2xx2.令y1log2x，y2x2.画出两个函数的大致图象，如图所示有两个不同的交点所以函数f(x)log2xx2有两个零点课时达标检测一、选择题1已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表x1234f(x)136.136

12、15.5523.9210.88x567f(x)52.488232.06411.238由表可知函数f(x)存在零点的区间有()A1个B2个C3个 D4个解析：选Df(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，f(6)f(7)0，共有4个零点2方程0.9xx0的实数解的个数是()A0 B1C2 D3解析：选B设f(x)0.9xx，则f(x)为减函数，值域为R，故有1个3若函数yf(x)在区间a，b上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A若f(a)f(b)0，则不存在实数c(a，b)，使得f(c)0B若f(a)f(b)0，则存在且只存在一个实数c(a，b)，使得f(c)0

13、C若f(a)f(b)0，则有可能存在实数c(a，b)，使得f(c)0D若f(a)f(b)0，则有可能不存在实数c(a，b)，使得f(c)0解析：选C根据函数零点存在性定理可判断，若f(a)f(b)0，则一定存在实数c(a，b)，使f(c)0，但c的个数不确定，故B、D错若f(a)f(b)0，则有可能存在实数c(a，b)，使得f(c)0，如f(x)x21，f(2)f(2)0，但f(x)x21在(2,2)内有两个零点，故A错，C正确4已知f(x)(xa)(xb)2，并且，是函数f(x)的两个零点，则实数a，b，的大小关系可能是()Aab BabCab Dab解析：选C，是函数f(x)的两个零点，f

14、()f()0.又f(x)(xa)(xb)2，f(a)f(b)20.结合二次函数f(x)的图象，如图所示，可知，a，b必在，之间，只有C满足5已知x0是函数f(x)2x的一个零点若x1(1，x0)，x2(x0，)，则()Af(x1)0，f(x2)0Bf(x1)0Cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0解析：选B在同一平面直角坐标系中画出函数y2x和函数y的图象，如图所示，由图可知函数y2x和函数y的图象只有一个交点，即函数f(x)2x只有一个零点x0，且x01.因为x1(1，x0)，x2(x0，)，所以由函数图象可知，f(x1)0.二、填空题6函数f(x)ln xx22x5的零点个数为_解析：

15、令ln xx22x50得ln xx22x5，画图(图略)可得函数yln x与函数yx22x5的图象有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.答案：27已知方程mx2x10在(0,1)上恰有一解，则实数m的取值范围是_解析：设f(x)mx2x1，方程mx2x10在(0,1)内恰有一解，且当m0时，方程x10在(0,1)内无解，m0，由f(0)f(1)0，即1(m11)0，解得m2.答案：(2，)8若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，就是函数yax(a0且a1)与函数yxa的图象有两个交点，由图象可知当0a1

16、时，因为函数yax(a1)的图象过点(0,1)，当直线yxa与y轴的交点(0，a)在(0,1)的上方时一定有两个交点所以a1.答案：(1，)三、解答题9关于x的方程mx22(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围解：令f(x)mx22(m3)x2m14.依题意得或即或解得m0.故m的取值范围为.10已知函数f(x)4xm2x1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点解：由题意知方程(2x)2m2x10仅有一个实根设2xt(t0)，则t2mt10.当0，即m240时，m2；当m2时，t1；当m2时，t1不合题意，舍去，2x1，x0符合题意当0，即m2或m0，t10，t20，则原方程有两个根这种情况不可能综上可知：m2时，f(x)有唯一零点，该零点为 x0.11已知函数f(x)x22exm1，g(x)x(x0)(1)若g(x)m有零点，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)f(x)0有两个相异实根解：(1)作出g(x)x(x0)的图象如图所示：可知若使g(x)m有零点，则只需m2e，故m的取值范围为2e，)(2)若g(x)f(x)0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点作出g(x)x(x0)和f(x)的图象如图所示f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其对称轴为直线xe，开口