函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质

1、函数yAsin(x)的图象及性质韩忠刚考试目标1考查正弦函数yAsin(x)的图象变换2考查yAsin(x)的性质及应用考点梳理1“五点法”作函数yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个交点，作图时的一般步骤为：(1)定点：先确定五点即令x分别等于0，2，得对应的五点为，.(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：1、将所得图象，按周期向两侧扩展可得yAsin(x)在R上的图象2、定区间的“五点法”作图。2三角函数图象的变换3函数yAsin(x)的物理意义当函数yA

2、sin(x)(A0，0，x0，)表示一个振动时，A叫做振幅，T叫做周期，f叫做频率，x叫做相位，叫做初相注意点：1、（1）列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出“五点”的坐标（2）定区间的“五点法”作图要注意范围内的特殊角的取值和端点值2、图象变换有两条路径，在解题中，一般采用先平移后伸缩的方法3、(1)要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；(2)要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；(3)由yAsin x的图象得到yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|.考点自测1函数y(sin xcos

3、x)21的最小正周期是()A. B C. D22.已知简谐运动f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相分别为()AT6， BT6，CT6， DT6，3要得到函数ycos(2x1)的图象，只要将函数ycos 2x的图象()A向左平移1个单位 B向右平移1个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位4将函数ysin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是()A. B. C. D.5将函数f(x)sin x(其中0)的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是_典例剖析一、作图函数yAsin(x)(A0，0) 的图象及

4、其变换【例1】已知函数y2sin，(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；如果做出它在0, 的图象呢？(3)说明y2sin的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到审题视点 (1)由振幅、周期、初相的定义即可解决(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点定区间找特殊角，要确定整体角的范围，在其范围内的特殊角列出来，再列上端点角，实际是六点作图。(3)只要看清由谁变换得到谁即可解(1)y2sin的振幅A2，周期T，初相.(2)令X2x，则y2sin2sin X.列表，并描点画出图象：xX02ysin X01010y2sin02020(3)法一把ysin

5、 x的图象上所有的点向左平移个单位，得到ysin的图象，再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象，最后把ysin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin的图象法二将ysin x的图象上所有点的横坐标x缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin 2x的图象；再将ysin 2x的图象向左平移个单位，得到ysin 2sin的图象；再将ysin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)；得到y2sin的图象方法总结：(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义

6、域上的图象；(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用x来确定平移单位【训练1】 已知函数f(x)3sin，xR.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数ysin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？解(1)列表取值：xx02f(x)03030描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图(2)先把ysin x的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象二、识图由图象求函数yAsin(x)的解析式【例2】(1)如图是函数yAsin(x)2(A0，0

7、)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是()AA3，T，BA1，T，CA1，T，DA1，T，(2)如图是函数yAsin(x)(A0，0)的图象的一部分，它的解析式为()AysinBysinCysinDysin审题视点 (1)函数的最大值为3，最小值为1，周期T，从而A，可求，再代入，可求值；(2)观察半个周期求，将点代入求.解析(1)由图象可知，函数的最大值M3，最小值m1，则A1，T，.ysin2，把点代入得：sin23，解得.(2)由，得T，2.把点代入ysin(2x)，得：sin1，解得.答案(1)C(2)D方法总结：五点法求yAsin(x)中的的方法：“第一点”(即图象上升时与x轴的

8、交点)时x0；并且它到原点的距离小于半个周期；“第二点”(即图象的“峰点”)时x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时x；“第四点”(即图象的“谷点”)时x；“第五点”时x2.【训练2】如图是函数yAsin(x)在一个周期内的图象，此函数的解析式可为()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin解析由，得T，2.把点代入y2sin(2x)，得：sin1，解得：，故选B.答案B三、用图函数yAsin(x)的图象与性质的综合应用【例3】已知函数f(x)Asin(x)，xR的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为M.(1)求f(x)的解析式；(2)当x时，求f

9、(x)的值域审题视点 图象上最低点A；图象上与x轴的相邻两个交点T；点M.x范围2x范围f(x)的值域解(1)由最低点为M，得A2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为，得，即T，所以2.由点M在图象上，得2sin2，即sin1.故2k，kZ，所以2k(kZ)又，所以.故f(x)的解析式为f(x)2sin.(2)因为x，所以2x.当2x，即x时，f(x)取得最大值2；当2x，即x时，f(x)取得最小值1.故函数f(x)的值域为1,2方法总结： 利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的个最小正周期，去求解参数的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等在求函数值域时，由定义域转化成x的范围，即把x看作一个整体【训练3】 如图为yAsin(x)的图象的一部分(1)求其解析式；(2)若将yAsin(x)的图象向左平移个单位后得yf(x)，求f(x)的对称轴方程解(1)由图象知A，以M为“第一点”，N为“第三点”列方程组解之得所求解析式为ysin.(2)f(x)sinsin，令2xk(kZ)