高考总复习数学理科课件第九章第10讲用样本估计总体

1、第10讲 用样本估计总体,（续表）,1用样本估计总体,通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本 的频率分布估计总体的分布；另一种是用样本的数字特征估计 总体的数字特征,2统计图 (1)频率分布直方图 求极差：极差是一组数据的最大值与最小值的差； 决定组距和组数：当样本容量不超过 100 时，常分成 5,12 组，组距_；,将数据分组：通常对组内数值所在区间取左闭右开区间， 最后一组取闭区间，也可以将样本数据多取一位小数分组；,列频率分布表：登记频数，计算频率，列出频率分布表 将样本数据分成若干个小组，每个小组内的样本个数称作 频数，频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率频率反映 各个

2、数据在每组所占比例的大小； 绘制频率分布直方图：把横轴分成若干段，每一段对应 一个组距，然后以线段为底作一小长方形，它的高等于该组的,频率 组距,，这样得到一系列的长方形，每个长方形的面积恰好是该,组上的频率这些矩形就构成了频率分布直方图，各个长方形,的面积总和等于_.,1,(2)频率分布折线图和总体密度曲线,频率分布折线图：连接频率分布直方图中各长方形上端,的中点，就得频率分布折线图,总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组 数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于 一条光滑的曲线，在统计中称之为总体密度曲线,(3)茎叶图,当样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，

3、它不 但可以保留所有信息，而且可以随时记录信息，给数据的记录 和表示都带来方便,3用样本的数字特征估计总体的数字特征 (1)众数、中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数 据的众数 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在_ 位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的,中位数,最中间,平均数：样本数据的算术平均数，即x(x1x2 xn) 在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积 应该相等,1,n,(2)样本方差、标准差,标准差 s,(其中 xn 是样本数据的第 n 项， n是样本容量，x是_) 标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准 差

4、的平方通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总,体容量时，样本方差接近总体方差,平均数,1(2015 年江苏)已知一组数据 4,6,5,8,7,6，那么这组数据,的平均数为_.,6,解析：,x 6. 6,465876,2(2015 年重庆)重庆市2013 年各月的平均气温(单位：),B,数据的茎叶图(如图 9-10-1)如下： 图 9-10-1,则这组数据中的中位数是(,),A19,B20,C21.5,D23,解析：由茎叶图可知总共 12 个数据，处在正中间的两个数 是第六和第七个数，它们都是 20，由中位数的定义可知：其中 位数就是 20.故选 B.,3从某小学随机抽取 100 名同学，

5、将他们的身高(单位： cm)数据绘制成频率分布直方图(如图 9-10-2)由图中数据可知,身高在120,130内的学生人数为(,),C,图 9-10-2,A20,B25,C30,D35,4(2016 年上海)某次体检，6 位同学的身高(单位：米)分 别 为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77 ， 则 这 组 数 据 的 中 位 数是,_(米),1.76,解析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69，1.72， 1.75,1.77,1.78,1.80，这六个数的中位数是1.75 与1.77 的平均数， 显然为 1.76.,考点1,频率分布直方图的绘制及其应用,例1

6、：(2014 年新课标)从某企业生产的某种产品中抽取 100 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下 频数分布表：(导学号 58940174) (1)如图 9-10-3，在表格中作出这些数据的频率分布直方图：,图 9-10-3,(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的,数据用该组区间的中点值作代表)；,(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产 品符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品的 80%”的规定？,解：(1)频率分布直方图如图 D75：,图 D75,(2)质量指标值的样本平均数为,x 800.06 900.26 1000.38 110

7、0.22 ,1200.08100.,质量指标值的样本方差为,s2 ( 20)20.06 (10)20.26 00.38 1020.22 ,2020.08104.,所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100，方差,的估计值为 104.,(3)质量指标值不低于 95 的产品所占比例的估计值为 0.38,0.220.080.68，,由于该估计值小于 0.8.故不能认为该企业生产的这种产品 符合“质量指标值不低于 95 的产品至少要占全部产品 80%” 的规定,【规律方法】用频率分布直方图解决相关问题时，应正确 理解图表中各个量的意义，识图掌握信息是解决该类问题的关 键频率分布直方图有以下几个要

8、点：,纵轴表示,频率 组距,；,频率分布直方图中各长方形高的比也就是其频率之比； 直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上 的频率，所有的小矩形的面积之和等于 1，即频率之和为 1.,【互动探究】 1(2013 年四川)某学校随机抽取 20 个班，调查各班中有 网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图 9-10-4.以组距为 5 将数据分组成0,5)，5,10)，30,35)，35,40时，所作的频,率分布直方图是(,),图 9-10-4,A C,B D,解析：根据题意，列频率分布表得：,故选 A.,答案：A,2(2014年江苏)某种树木的底部周长的取值范围是80, 130，它的频率分

9、布直方图如图 9-10-5，则在抽测的 60 株树,木中，有_株树木的底部周长小于 100 cm.,24,图 9-10-5 解析：由题意知，在抽测的 60 株树木中，底部周长小于 100 cm 的株数为(0.0150.025)106024(株),考点2 茎叶图的应用,例2：(2014 年新课标)某市为了考核甲、乙两部门的工 作情况，随机访问了 50 位市民，根据这 50 位市民对这两部门 的评分( 评分越高表明市民的评价越高) ，绘制茎叶图( 如图 9-10-6)(导学号 58940175),图9-10-6,(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、乙

10、两部门的评分高于 90 分 的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价 解：(1)由所给茎叶图知，50 位市民对甲部门的评分由小到 大排序，排在第 25,26 位的是 75,75，故样本中位数为 75，所以 该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第 25,26 位,的是 66,68，故样本中位数为,6668 2,67.所以该市的市民对乙,部门评分的中位数的估计值是 67.,0.1， 0.16.,(2)由所给茎叶图知，50 位市民对甲、乙部门的评分高于,90 分的比率分别为,5 50,8 50,故该市的市民对甲、乙部门的评

11、分高于 90 分的概率的估计 值分别为 0.1,0.16. (3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对 乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门 的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市 民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、 评价差别较大(注：考生利用其他统计量进行分析，结论合理 的同样给分),【互动探究】 3茎叶图(如图 9-10-7)记录甲、乙两人在 5次体能综合测评 中的成绩(成绩为两位整数)，现乙还有一次不小于 90 分的成绩,未记录，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为(,),A.,1 10,B.,7 10,C.,3 1

12、0,D.,1 5,图 9-10-7,D,解析：由题意，得基本事件总数为 10，设未记录的成绩为 90 x(xN,0 x9)，则 8889909192838387,9990 x，即x8，满足要求的 2 个，所以所求概率为 .,考点3 用样本的数字特征估计总体的数字特征,例3：(2016 年新课标)某险种的基本保费为 a(单位：元)， 继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与 其上年度出险次数的关联如下：(导学号 58940176),随机调查了该险种的 200 名续保人在一年内的出险情况，,得到如下统计表：,(1)记 A 为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保 费”求 P(A)的

13、估计值； (2)记 B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但 不高于基本保费的 160%”求 P(B)的估计值； (3)求续保人本年度的平均保费估计值 解：(1)事件 A 发生当且仅当一年内出险次数小于 2. 由所给数据知：,一年内险次数小于 2 的频率为,6050 200,0.55.,故 P(A)的估计值为 0.55.,(2)事件 B 发生当且仅当一年内出险次数大于 1 且小于 4.由 题给数据知：,一年内出险次数大于 1 且小于 4 的频率为,3030 200,0.3，,故 P(B)的估计值为 0.3. (3)由题给数据得所求分布列为：,调查 200 名续保人的平均保费为,0.85

14、a0.30 a0.25 1.25a0.15 1.5a0.15 ,1.75a0.12a0.051.1925a.,因此，续保人本年度平均保费估计值为 1.1925a.,【规律方法】样本的数字特征常见的命题角度有：样本 的数字特征与直方图交汇；样本的数字特征与茎叶图交汇； 样本的数字特征与优化决策问题,【互动探究】 4(2016年贵州适应性考试)一组样本数据的频率分布直方,),图如图 9-10-8，试估计此样本数据的中位数为( 图 9-10-8,A.,100 9,B11.52,C12,D13,解析：设中位数为 x，则(x10)0.0940.0840.02,0.5.解得 x,100 9,.,A,5(2

15、016 年安徽安庆二模)某学校高二年级共有女生 300 人， 现调查她们每天的课外运动时间，发现她们的课外运动时间介 于 30 分钟到 90 分钟之间，如图 9-10-9 是统计结果的频率分布 直方图，则她们的平均运动时间大约是_分钟 图 9-10-9 解析：平均数为 350.1 450.1 550.5 650.2 ,750.05850.0556.5.,56.5,6(2015 年江西南昌模拟)某中学为了检验 1000 名在校高 三学生对函数模块掌握的情况，进行了一次测试，并把成绩进 行统计，得到的样本频率分布直方图如图 9-10-10，则考试成绩,的众数大约为(,),C,图 9-10-10,A

16、55,B65,C75,D85,解析：由直方图可得众数大约为,7080 2,75.故选 C.,难点突破,函数思想在统计中的应用,在高考中常以频率分布直方图或茎叶图的形式出现，考查 统计与概率的知识，这也是近几年高考出题的热点 例题：(2016年新课标)某公司计划购买 1 台机器，该种 机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时， 可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期 间，如果备件不足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机 器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种 机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图 9-10-11： (导学号

17、58940177),图 9-10-11,记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示 购机的同时购买的易损零件数,(1)若 n19，求 y 与 x 的函数解析式；,(2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于,0.5，求 n 的最小值,(3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损 零件，或每台都购买 20 个易损零件，分别计算这 100 台机器在 购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？ 解：(1)当 x19

18、时，y3800； 当 x19 时，y3800500(x19)500 x5700. 所以 y 与 x 的函数解析式为,y,3800，x19， 500 x5700，x19，,(xN),(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46， 不大于 19 的频率为 0.7，故 n 的最小值为 19. (3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800,20 台的费用 为 4300,10 台的费用为 4800，因此这 100 台机器在购买易损零 件上所需费用的平均数为：,1 100,(380070430020480010

19、)4000.,若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件，则这 100 台机 器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4000,10 台的费用为 4500，因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为：,1 100,(400090450010)4050.,比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买 19 个易 损零件 【规律方法】本题把统计与函数结合在一起进行考查，有 综合性但难度不大，求解关键是读懂题意，所以提醒考生要重 视数学中的阅读理解问题,1用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和 频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点 是频率分布表和频率