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文档简介

1、实验五 解线性方程组的迭代法【实验内容】对1、设线性方程组 2、设对称正定系数阵线性方程组 3、三对角形线性方程组 试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol迭代法和SOR方法计算其解。【实验方法或步骤】1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法加以比较； 2、分别对不同精度要求，如由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢； 3、对方程组2，3使用SOR方法时，选取松弛因子=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者； 4、给出各种算法的设计程序和计算结果。程序：用雅可比方法求的程序：function x,n=jacobi(A,b,x

2、0,eps,varargin)if nargin=3 eps=1.0e-6; M=200;elseif nargin=5 M=varargin1;endD=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=D(L+U);f=Db;x=B*x0+f;n=1;while norm(x-x0)=eps x0=x; x=B*x0+f; n=n+1;if(n=M) diso(不收敛！) return;endend解1的程序为A=4 2 -3 -1 2 1 0 0 0 0;8 6 -5 -3 6 5 0 1 0 0;4 2 -2 -1 3 2 -1 0 3 1;0 -2

3、1 5 -1 3 -1 1 9 4;-4 2 6 -1 6 7 -3 3 2 3;8 6 -8 5 7 17 2 6 -3 5;0 2 -1 3 -4 2 5 3 0 1;16 10 -11 -9 17 34 2 -1 2 2;4 6 2 -7 13 9 2 0 12 4;0 0 -1 8 -3 -24 -8 6 3 -1;,b=5 12 3 2 3 46 13 38 19 -21A = Columns 1 through 4 4 2 -3 -1 8 6 -5 -3 4 2 -2 -1 0 -2 1 5 -4 2 6 -1 8 6 -8 5 0 2 -1 3 16 10 -11 -9 4 6

4、2 -7 0 0 -1 8 Columns 5 through 8 2 1 0 0 6 5 0 1 3 2 -1 0 -1 3 -1 1 6 7 -3 3 7 17 2 6 -4 2 5 3 17 34 2 -1 13 9 2 0 -3 -24 -8 6 Columns 9 through 10 0 0 0 0 3 1 9 4 2 3 -3 5 0 1 2 2 12 4 3 -1b = 5 12 3 2 3 46 13 38 19 -21 x0=ones(10,1); x,n=Jacobi(A,b,x0)得到的结果为Warning: Function call Jacobi invokes i

5、nexact match d:MATLAB7workjacobi.m.不收敛！x = 1.0e+124 * -0.1794 -0.3275 -0.7094 1.5990 1.0311 0.3291 0.2464 4.3905 0.4927 -2.6574n = 200即迭代了200次而且可能不收敛A = 4 2 -4 0 4 2 0 0 2 2 -1 2 1 3 2 0 -4 -1 14 1 -8 -3 5 6 0 -2 1 6 -1 -4 -3 3 2 1 -8 -1 22 4 -10 -3 4 3 -3 -4 4 11 1 -4 0 2 5 -3 -10 1 14 2 0 0 6 3 -3

6、 -4 2 19b = 0 -6 20 23 9 -22 -15 45 x0=ones(8,1); x,n=Jacobi(A,b,x0) 不收敛！x = 1.0e+047 * 0.9627 1.0084 -0.4954 -0.5979 0.3097 0.6872 -0.0666 -0.2629n =200此方程可能不收敛A=4 -1 0 0 0 0 0 0 0 0;-1 4 -1 0 0 0 0 0 0 0;0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 0;0 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0;0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 0;0 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0;0 0 0

7、0 0 -1 4 -1 0 0;0 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0;0 0 0 0 0 0 0 -1 4 -1;0 0 0 0 0 0 0 0 -1 4;,b=7 5 -13 2 6 -12 14 -4 5 -5A = Columns 1 through 5 4 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 -1 4 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Columns 6 through 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8、0 0 -1 0 0 0 0 4 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 -1 4b = 7 5 -13 2 6 -12 14 -4 5 -5 x0=ones(10,1); x,n=Jacobi(A,b,x0)x = 2.0000 1.0000 -3.0000 0.0000 1.0000 -2.0000 3.0000 0.0000 1.0000 -1.0000n =22得到结果为迭代了22次得到近似解为x =2.0000 1.0000 -3.0000 0.0000 1.0000 -2.0000 3.0000 0.0000 1.000

9、0 -1.0000用高斯赛德尔源程序function x,n=gauseidel(A,b,x0,eps,M)if nargin=3 eps=1.0e-6; M=200;elseif nargin=4 M=200;elseif nargin=eps x0=x; x=G*x0+f; n=n+1; if(n=M) disp(Warning:不收敛！); return; endend解上面3个方程组的程序分别为第一个方程A=4 2 -3 -1 2 1 0 0 0 0;8 6 -5 -3 6 5 0 1 0 0;4 2 -2 -1 3 2 -1 0 3 1;0 -2 1 5 -1 3 -1 1 9 4;

10、-4 2 6 -1 6 7 -3 3 2 3;8 6 -8 5 7 17 2 6 -3 5;0 2 -1 3 -4 2 5 3 0 1;16 10 -11 -9 17 34 2 -1 2 2;4 6 2 -7 13 9 2 0 12 4;0 0 -1 8 -3 -24 -8 6 3 -1;,b=5 12 3 2 3 46 13 38 19 -21A = 4 2 -3 -1 2 1 0 0 0 0 8 6 -5 -3 6 5 0 1 0 0 4 2 -2 -1 3 2 -1 0 3 1 0 -2 1 5 -1 3 -1 1 9 4 -4 2 6 -1 6 7 -3 3 2 3 8 6 -8 5

11、7 17 2 6 -3 5 0 2 -1 3 -4 2 5 3 0 1 16 10 -11 -9 17 34 2 -1 2 2 4 6 2 -7 13 9 2 0 12 4 0 0 -1 8 -3 -24 -8 6 3 -1b = 5 12 3 2 3 46 13 38 19 -21x0=zeros(10,1); x,n=gauseidel(A,b,x0)Warning:不收敛！x = 1.0e+247 * 0.0165 -0.0271 0.2202 -0.4576 -0.5951 0.3138 -0.4381 2.2450 0.0413 7.4716n =200即迭代200次后此方程可能不收

12、敛方程2的程序为A=4 2 -4 0 4 2 0 0;2 2 -1 2 1 3 2 0;-4 -1 14 1 -8 -3 5 6;0 -2 1 6 -1 -4 -3 3;2 1 -8 -1 22 4 -10 -3;4 3 -3 -4 4 11 1 -4;0 2 5 -3 -10 1 14 2;0 0 6 3 -3 -4 2 19;,b=0 -6 20 23 9 -22 -15 45A = 4 2 -4 0 4 2 0 0 2 2 -1 2 1 3 2 0 -4 -1 14 1 -8 -3 5 6 0 -2 1 6 -1 -4 -3 3 2 1 -8 -1 22 4 -10 -3 4 3 -3

13、-4 4 11 1 -4 0 2 5 -3 -10 1 14 2 0 0 6 3 -3 -4 2 19b = 0 -6 20 23 9 -22 -15 45 x0=zeros(8,1); x,n=gauseidel(A,b,x0)x = 3.5441 -4.8877 1.9482 0.4525 1.4283 -1.1606 -0.1081 1.6743n =44即在迭代44次后可求的方程的近似解第3个的程序为 A=4 -1 0 0 0 0 0 0 0 0;-1 4 -1 0 0 0 0 0 0 0;0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 0;0 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0;0 0

14、0 -1 4 -1 0 0 0 0;0 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0;0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 0;0 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0;0 0 0 0 0 0 0 -1 4 -1;0 0 0 0 0 0 0 0 -1 4;,b=7 5 -13 2 6 -12 14 -4 5 -5A = 4 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 0 0 0

15、 -1 4 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 4b = 7 5 -13 2 6 -12 14 -4 5 -5 x0=zeros(10,1); x,n=gauseidel(A,b,x0)x = 2.0000 1.0000 -3.0000 -0.0000 1.0000 -2.0000 3.0000 -0.0000 1.0000 -1.0000n =12 在迭代12次后得到方程的近似解用超松弛迭代的源程序为function x,n=SOR(A,b,x0,w,eps,M)if nargin=4 e

16、ps=1.0e-6; M=200;elseif nargin4 error returnelseif nargin=5 M=200;endif(w=2) error; return;endD=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=inv(D-L*w)*(1-w)*D+w*U);f=w*inv(D-L*w)*b;x=B*x0+f;n=1;while norm(x-x0)=eps x0=x; x=B*x0+f; n=n+1; if(n=M) disp(Warning:不收敛！); return; endend解第一个方程组选取抄松弛因子为1程序为：A=

17、4 2 -3 -1 2 1 0 0 0 0;8 6 -5 -3 6 5 0 1 0 0;4 2 -2 -1 3 2 -1 0 3 1;0 -2 1 5 -1 3 -1 1 9 4;-4 2 6 -1 6 7 -3 3 2 3;8 6 -8 5 7 17 2 6 -3 5;0 2 -1 3 -4 2 5 3 0 1;16 10 -11 -9 17 34 2 -1 2 2;4 6 2 -7 13 9 2 0 12 4;0 0 -1 8 -3 -24 -8 6 3 -1;,b=5 12 3 2 3 46 13 38 19 -21A = 4 2 -3 -1 2 1 0 0 0 0 8 6 -5 -3

18、6 5 0 1 0 0 4 2 -2 -1 3 2 -1 0 3 1 0 -2 1 5 -1 3 -1 1 9 4 -4 2 6 -1 6 7 -3 3 2 3 8 6 -8 5 7 17 2 6 -3 5 0 2 -1 3 -4 2 5 3 0 1 16 10 -11 -9 17 34 2 -1 2 2 4 6 2 -7 13 9 2 0 12 4 0 0 -1 8 -3 -24 -8 6 3 -1b = 5 12 3 2 3 46 13 38 19 -21x0=0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;x,n=SOR(A,b,x0,1)Warning:不收敛！x = 1.0e+247 * 0

19、.0165 -0.0271 0.2202 -0.4576 -0.5951 0.3138 -0.4381 2.2450 0.0413 7.4716n = 200迭代次数太多可能不收敛解第2个的程序为A=4 2 -4 0 4 2 0 0;2 2 -1 2 1 3 2 0;-4 -1 14 1 -8 -3 5 6;0 -2 1 6 -1 -4 -3 3;2 1 -8 -1 22 4 -10 -3;4 3 -3 -4 4 11 1 -4;0 2 5 -3 -10 1 14 2;0 0 6 3 -3 -4 2 19;,b=0 -6 20 23 9 -22 -15 45A = 4 2 -4 0 4 2 0

20、 0 2 2 -1 2 1 3 2 0 -4 -1 14 1 -8 -3 5 6 0 -2 1 6 -1 -4 -3 3 2 1 -8 -1 22 4 -10 -3 4 3 -3 -4 4 11 1 -4 0 2 5 -3 -10 1 14 2 0 0 6 3 -3 -4 2 19b = 0 -6 20 23 9 -22 -15 45 x0=0 0 0 0 0 0 0 0;x,n=SOR(A,b,x0,0.8)x = 3.5441 -4.8877 1.9482 0.4525 1.4283 -1.1606 -0.1081 1.6743n = 52得到结果为迭代了52次得到近似解松弛因子为0.8x

21、,n=SOR(A,b,x0,0.9)x = 3.5441 -4.8877 1.9482 0.4525 1.4283 -1.1606 -0.1081 1.6743n = 47得到结果为迭代了47次得到近似解松弛因子为0.9 x,n=SOR(A,b,x0,1)x = 3.5441 -4.8877 1.9482 0.4525 1.4283 -1.1606 -0.1081 1.6743n = 44得到结果为迭代了44次得到近似解松弛因子为1.0解第3个的程序为 A=4 -1 0 0 0 0 0 0 0 0;-1 4 -1 0 0 0 0 0 0 0;0 -1 4 -1 0 0 0 0 0 0;0 0 -1 4 -1 0 0 0 0 0;0 0 0 -1 4 -1 0 0 0 0;0 0 0 0 -1 4 -1 0 0 0;0 0 0 0 0 -1 4 -1 0 0;0 0 0 0 0 0 -1 4 -1 0;0 0 0 0

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