高中数学 第二讲 参数方程 本讲高考热点解读与高频考点例析学案（含解析）新人教A版选修

1、本讲高考热点解读与高频考点例析考情分析通过对近几年高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关问题真题体验1(湖北高考)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l的极坐标方程为(sin 3cos )0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|_.解析：由(sin 3cos )0，得sin 3cos ，则y3x.由得y2x24.由可得或不妨设A，则B，故|AB| 2.答案：22(全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极

2、坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|，求l的斜率解：(1)由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程为212cos 110.(2)法一：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得yxtan .设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kxy0.由圆C的方程(x6)2y225知，圆心坐标为(6,0)，半径为5.又|AB|，由垂径定理及点到直线的距离公式得 ，即，整理得k2，解得k，即直线l的斜率为.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 1

3、10，于是1212cos ，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，tan .所以直线l的斜率为或.3(全国卷)已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解：(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为 d|4cos 3sin 6|，则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.

4、4(全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标解：(1)C1的普通方程为y21，C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos ，sin )因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d()，当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.曲线的参数方程与普通方程的互化在求出曲线的参数方程后，通常利

5、用消参法得出普通方程一般地，消参数经常采用的是代入法和三角公式法但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x，y的取值范围在消参前后应该是一致的，也就是说，要使得参数方程与普通方程等价，即它们二者要表示同一曲线参数方程为参数，表示的曲线是什么？化为普通方程是：x2y225，0x5，5y5.表示以(0,0)为圆心，5为半径的右半圆将参数方程(t为参数)化为普通方程由xt1，得t(x1)，代入yt21，得y(x1)21，即为所求普通方程.直线与圆的参数方程直线的参数方程主要考查求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离；求直线的倾斜角；判断两直线的位置

6、关系等几个方面圆的参数方程主要考查根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题求直线l：4xy40与l1：x2y20及l2：4x3y120所得两交点间的距离在l上任取一点(0，4)得l的参数方程为将这一参数方程代入l1和l2即可求出两交点的参数值分别为t1和t2.根据直线参数方程的几何意义，两交点间的距离为：|t1t2|，即两交点间距离为.已知实数x，y满足(x1)2(y1)29，求x2y2的最大值和最小值因为实数x，y满足(x1)2(y1)29，所以点(x，y)可视为圆(x1)2(y1)29上的点，于是可利用圆的参数方程来求解设(为参数)，则x2y2(13c

7、os )2(13sin )2116(sin cos )116sin.因为1sin1，所以116x2y2116.所以x2y2的最大值为116，最小值为116.圆锥曲线的参数问题能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题一直线经过P(1,1)点，倾斜角为，它与椭圆y21相交于P1，P2两点当取何值时，|PP1|PP2|有最值，并求出最值设直线方程为(t为参数)，代入椭圆方程，得(cos24sin2)t2(2cos 8sin )t10.(2cos 8sin )24(cos24sin2)0，tan 或tan 0.|PP1|PP2|t1t2，tan2时，(|PP1|PP2|)min，此时.|PP1|PP2|无最大值已知点P(3,2)平分抛物线y24x的一条弦AB，求弦AB的长设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，