人教A高中数学选修11同课异构课件333函数的最大小值与导数情境互动课型

1、3.3.3 函数的最大（小）值与导数,x1,x2,在极大值点附近,在极小值点附近,f (x)0,f (x)0,f (x)0,f (x)0,左正右负为极大值,左负右正为极小值,1.极值的判定,2.求可导函数f(x)极值的步骤,(2)求导数f(x).,(3)求方程f(x）=0的根.,(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格.,检查f (x)在方程根左右的符号 如果左正右负， 那么f(x)在这个根处取得极大值；,如果左负右正， 那么f(x)在这个根处取得极小值.,(1)确定函数的定义域.,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,3.最大值与最小值,（1）对于任意的xI，都有f(

2、x)M. （2）存在x0I，使得f(x0)=M，,那么，称M是函数y=f(x)的最大值.,一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：,（1）对于任意的xI，都有f(x)M. （2）存在x0I，使得f(x0)=M，,那么，称M是函数y=f(x)的最小值.,1借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值概念. 2弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系，理解和熟悉函数必有最大值和最小值的充分条件.(重点) 3掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤.(难点),在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，

3、这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题.,函数在什么条件下一定有最大、最小值？它们与函数极值关系如何？,极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.,探究点 函数的最大（小）值与导数,解答：图（1）最大值f(b),最小值f(a)；图（2）最大值f(x3),最小值f(x4)。,探究:根据函数最值的概念,探究以下问题: (1)函数的极值是否一定是函数的最值? 提示:不一定.端点值也可能是函数的最值.,(2)若连续函数f(x)在区间a,b上有唯一的极值点且为极小值点x0,则f(x0)是否是最小值? 提示:

4、是.函数y=f(x)在a,x0上单调递减,在x0,b上单调递增,故f(x)在x0点取得最小值,f(x0)是最小值.,【拓展延伸】开区间(a,b)上连续函数y=f(x)的最值情况分析 共有四种情况,具体如下: 图(1)中的函数y=f(x)在开区间(a,b)上有最大值无最小值; 图(2)中的函数y=f(x)在开区间(a,b)上有最小值无最大值; 图(3)中的函数y=f(x)在开区间(a,b)上既无最大值也无最小值; 图(4)中的函数y=f(x)在开区间(a,b)上既有最大值也有最小值.,函数f(x)=x3-3x(|x|1)() A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,但有

5、最小值 D.既无最大值,也无最小值,【即时训练】,D,4,函数f(x)=xex的最小值为. 【解析】f(x)=xex,所以f(x)=ex+xex=(x+1)ex, 当x-1时,f(x)0, 所以函数f(x)在(-,-1)上单调递减,在(-1,+) 上单调递增, 函数的最小值为f(-1)=-e-1=- . 答案:-,【即时训练】,例2 求函数yx42x25在区间-2,2上的最大值与最小值.,解:,令 ,解得x=-1，0，1.,当x变化时, 的变化情况如下表:,从上表可知，最大值是13，最小值是4.,13,4,5,4,13,0,0,0,2,(1,2),1,(0,1),0,(-1,0),-1,(-2

6、,-1),-2,1函数的最值概念是全局性的.,2函数的最大值（最小值）唯一.,3函数的最值可在端点处取得.,【提升总结】,已知f(x)=(x2-4)(x-2),求函数f(x)在-2,2上的最值. 【解析】由题意得f(x)=x3-2x2-4x+8, 所以f(x)=3x2-4x-4. 令f(x)=3x2-4x-4=0,得x=- 或x=2. 又f(- )= ,f(-2)=0,f(2)=0, 所以,函数f(x)在-2,2上的最大值为 ,最小值为0.,【即时训练】,例3：（含参数的最值问题） 1.已知函数f(x)=x3-ax2+3x,若x=3是函数的极值点,则函数在1,a上的最大值为,最小值为. 2.已

7、知函数f(x)=2x3-6x2+a在-2,2上有最小值-37,求a的值,并求函数f(x)在-2,2上的最大值.,【解题关键】 1.根据题目中给出的条件,先求出参数a的值,然后求函数的最值. 2.根据函数在闭区间上的最小值为-37,可求出a的值,从而可求出函数的最大值.,【自主解答】1.f(x)=x3-ax2+3x,所以f(x)=3x2- 2ax+3. 因为x=3是函数的极值点, 所以f(3)=27-6a+3=0,解得a=5, f(x)=3x2-10 x+3,令f(x)=0,得x= (舍去)或x=3. 又f(1)=-1,f(3)=-9,f(5)=15, 所以函数在1,a上的最大值为15,最小值为

8、-9. 答案:15-9,2.f(x)=2x3-6x2+a,所以f(x)=6x2-12x. 令f(x)=6x2-12x=0,得x=0或x=2. 又f(-2)=-40+a,f(0)=a,f(2)=-8+a, 所以函数f(x)=2x3-6x2+a在-2,2上最小值为 f(-2)=-40+a=-37, 所以a=3,函数f(x)的最大值为f(0)=3.,【规律总结】已知函数最值求参数的一般步骤 (1)求最值.求出导数,根据极值的定义,求出函数的极值及区间端点处的函数值,进而求出最值. (2)列方程.根据题意,列出参数满足的方程. (3)求参数.解方程,求出参数的值.,1(2014聊城高二检测)函数 在区

9、间 上的最大值是( ) A B C D以上都不对,C,2. 已知f(x)=2x3-6x2+m（m为常数），在-2 , 2 上有最大值3，函数在-2, 2上的最小值为_.,-37,3. 函数f(x)=x3+ax+b，满足f(0)=0，且在x=1时取得 极小值，则实数a的值为_.,-3,( , ),( , ),(0, ),解：,令,解得,x,0,+,-,+,0,0,当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:,0,5.若函数 的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.,解:令 得x=0, x=4（舍去）.,当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:,由表知,当x=0时,f(x)取得最大值b,故b=3.,又f(-1)-f(2)=9a0, 所以f(x)的最小值为f(2)=-16a+3=-29,故a=2.,因此f( )2a-2等价于lna+a-11时，g(a)0.因此，a的 取值范围是（0,1）.,1.求在a,b上连续,(a,b)上可导的函数f(x)在a,b上的最值的步骤: (1)求f(x)在(a,b)内的极值. (2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,一是利用函数性质. 二是利用不等式. 三是利用导数.,2.求函数最值的一般方法：,(1