人教A数学选修21同课异构教学课件312空间向量的数乘运算探究导学课型

1、3.1.2 空间向量的数乘运算,【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，并掌握空间向量的数乘运算及运算律，初步了解平行(共线)向量、共面向量的意义及表示方法.,【知识链接】 1.平面向量的数乘：记作b=a，0时a与a的方向相同，0时a与a的方向相反. 2.平面向量共线：a(a0)与向量b共线，当且仅当有唯一一个实数，使b=a.,主题一：空间向量的数乘 【自主认知】 1.空间中向量a+a+a表示的意义是什么？结果是多少？ 提示：表示与a同方向，长度为|a|的3倍的向量，结果是3a. 2.实数与平面向量a的乘积a的意义是什么？ 提示：0时，a与a的方向相同；0时a与a的方向相反；a的长度是a的

2、长度的|倍.,3.(1+2)a与a+2a表示的几何意义相同吗？2(3a)与3(2a)呢？ 提示：(1+2)a与a+2a表示的几何意义相同，所以(1+2)a=a+2a；2(3a)与3(2a)的几何意义相同，所以2(3a)=3(2a).,根据以上探究过程，完成下列表格：,向量,a,|,0,相同,0,相反,a+b,【合作探究】 1.向量a的模与向量a的模比较何时扩大？何时缩小？ 提示：向量a的模可以扩大(当|1时)，也可以缩小(当0|1时). 2.空间向量的数乘运算与加减运算有什么关系？ 提示：数乘运算实质是空间向量的加减运算的简化形式.,【过关小练】 1.下面实数，与向量a，b的运算不正确的是()

3、 A.(a)=()a B.(+)a=a+a C.(a+b)=a+b D.a(0)与a的方向相同 【解析】选D.当0时，与a的方向相同；当0时，与a的方向相反.,2.设O为空间中的任意一点，若向量 则向量 =_(a-b). 【解析】由 答案：-2,主题二：共线(平行)向量 【自主认知】 1.两个向量共线时，它们的方向有什么关系？ 提示：两向量共线，则它们的方向相同或相反.,2.在平面向量中，两个向量共线的充要条件是什么？为什么要求a0？ 提示：向量a(a0)与向量b共线的充要条件是有惟一一个实数，使b=a.由于我们已经规定了0与任意向量平行，所以当a0时，a与b是共线向量，可如果b=0，就不可能

4、存在实数，使b=a成立.,根据以上探究过程，完成下列表格：,平行或重合,a=b,方向向量,【合作探究】 1.在两向量共线的充要条件中，为什么要求b0？ 提示：由于规定了0与任意向量平行，所以当b=0时，a与b是共线向量，可如果a0，就不可能存在实数，使a=b成立.,2.向量共线的充要条件有哪些方面的应用？ 提示：(1)判定两向量共线(平行)，进而可以证明两直线平行. (2)利用“唯一性”可以求参数：b0时,若 则一定有1=2.,【拓展延伸】共线向量定理推论的证明 推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式,证明：因为

5、la， 所以对于l上任意一点P，存在唯一的实数t，使得 (*) 又因为对于空间任意一点O， 有 所以 若在l上取 则有 (*) 又因为 所以 ,当t= 时， 注：其中向量a叫做直线l的方向向量. 和都叫空间直线的向量表示式，是线段AB的中点向量公式.,【过关小练】 1.给出下列几个命题：若a与b共线，b与c共线，则a与c共线； 零向量的方向是任意的；若ab，则存在唯一的实数，使a=b.其中真命题的个数为() A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选B.错误，若b=0，则a与b共线，b与c共线，但a与c未必共线；正确.这是关于零向量的方向的规定；错误.若b=0，则有无数多个使之成立.,2.若a

6、=5，b与a的方向相反，且|b|=7，则a=_b. 【解析】b与a的方向相反，所以实数0，a=b， 所以= 答案：,主题三：共面向量 【自主认知】 1.共面向量与直线与平面平行的定义是否一样？ 提示：共面向量是指表示向量的有向线段所在的直线与平面平行或表示向量的有向线段所在的直线在平面内，它与直线和平面平行是不同的.,2.同一平面内的三个向量a，b，c，若a与b不共线，则向量c能否用a与b来表示？若能，如何表示？ 提示：根据平面向量的基本定理，在a与b不共线的前提下，c能用a与b来表示.c=xa+yb，其中(x，y)是惟一的有序实数对.,根据以上探究过程，试完成下列关于共面向量的内容：,惟一,

7、p=xa+yb,【合作探究】 1.空间中任意三个向量一定是共面向量吗？请举例说明. 提示：不一定.对于空间任意两个向量，它们总是 共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了. 例如，对于空间四边形ABCD， 这三个 向量就不是共面向量.,2.在三个向量共面的充要条件中，若两向量a，b共线，那么结论是否还成立？ 提示：不成立.因为当p与a，b都共线时，存在不唯一的实数对(x，y)使p=xa+yb成立.当p与a，b不共线时，不存在实数对(x，y)使p=xa+yb成立.,【拓展延伸】空间向量共面的充要条件和常用结论 (1)P，A，B，C四点共面的充要条件： 存在有序实数对(x,y),使得 对于空间任意

8、一定点O，有 空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y，z)， 使得 (其中x+y+z=1).,(2)常见结论： 空间任意的两向量都是共面的； 三个非零向量a,b,c，其中任意两个向量不共线，则它们共面的充要条件：存在三个非零实数l，m，n，使la+mb+nc0.,【过关小练】 1.给出以下命题：若a，b所在直线是异面直线，则a与b一定不共面；若a，b，c三向量两两共面，则a，b，c三向量一定也共面；若a，b，c三向量共面，则由a，b所在直线确定的平面与由b，c所在直线确定的平面一定平行或重合. 其中正确命题的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个,【解析】选A.

9、错.由于向量是可以自由平移的,所以空间任意两个向 量一定共面；错.从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量,虽然 是两两共面,但这三个向量不共面,三个向量共面时,它们所在的直线 或者在平面内或者与平面平行；错.例如，在平行六面体ABCD- A1B1C1D1中， 三向量共面,然而平面ABCD与平面ABB1A1相交.,2.已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由 确定的点M与A，B，C共面，则_. 【解析】M与A，B，C共面，则 其中xyz1，结合题目有211，即2. 答案：2,【归纳总结】 1.数乘运算的三个关注点 (1)与实数运算的区别：数乘向量与数与数的乘法是有区别的，前者结果是一

10、个向量，后者结果是一个实数. (2)与加法、减法运算的关系：空间向量的数乘运算，实质是空间向量的加减运算. (3)特殊情况：当=0或a=0时，向量a=0.,2.共线向量充要条件的三个关注点 (1)区别：共线向量与直线平行的区别，直线平行不包括两直线重合的情况，而我们说的两个共线向量ab，表示向量a，b的有向线段所在直线既可以是同一直线，也可以是两条平行直线. (2)零向量：共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b0不可遗漏. (3)方向向量的个数：直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量.一条直线的方向向量无数个，它们的方向相同或相反.,3.空间向量共线的充要条件和常

11、用结论 (1)三点P，A，B共线的充要条件有： 存在实数t使得 即 存在实数t，使得 存在有序实数对(x，y)，使得 (其中x+y=1). (2)判断向量a，b所在直线平行，还需a(或b)上有一点不在b(或a)上. (3)常见结论：零向量与任何空间向量都是平行向量；若直线l过 点A且与向量a平行，则点P在直线l上,4.对共面向量的两点说明 (1)共面的理解：共面向量是指与同一个平面平行的向量，可将共面向量平移到同一个平面内. (2)向量的“自由性”：空间任意的两向量都是共面的.只要方向相同、大小相等的向量就是同一向量，只要能平移到同一平面上的向量都是共面向量.,类型一：空间向量的数乘运算 【典

12、例1】(1)(2015鞍山高二检测)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， M为AC与BD的交点，若 则下列向量中与B1M相 等的向量是( ),(2)已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G 分别是边BC，CD的中点，化简下列各表达式. 【解题指南】(1)利用三角形法则及平行四边形法则将 用a,b,c表示. (2)利用图中三角形某边的中线与平行四边形法则，对向量式子进行化简.,【解析】(1)选A. (2) ,【延伸探究】 1.(改变问法)若本例(1)中条件不变，所求问题改为：若 =xa+yb+zc,则x+y+z的结果是多少？ 【解析】 所以 z=1,故x+y+z=2.,2.(变换条

13、件)在本例(1)中的条件“M为AC与BD的交点”改为“M为AC的三等分点”，其他条件不变，则 如何用a,b,c表示？ 【解析】,【规律总结】空间向量数乘运算的方法及注意点 (1)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量. (2)运用空间向量的数乘运算律可使运算简便，注意与实数的有关运算律区别清楚.运算律中是实数与向量的乘积，不是向量与向量的乘法运算.,【补偿训练】1.已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值： (1) (2) 【解题指南】解答

14、本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等，求出x，y即可,【解析】如图， (1)因为 所以,(2)因为 所以 又因为 所以 从而有 所以x2，y2.,2.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设 M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下向量： (1) (2) (3),【解析】(1)因为P是C1D1的中点， 所以 (2)因为N是BC的中点， 所以,(3)因为M是AA1的中点， 所以 又 所以,类型二：共线向量定理的应用 【典例2】如图所示，ABCD-ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N 分别是AC，BF的中

15、点，判断 是否共线？,【解题指南】要判断 是否共线，由共线向量定理就是判定 是否存在实数x，使 若存在则 共线，否则 不共线,【解析】M，N分别是AC，BF的中点,而ABCD，ABEF都是平行四边形， 所以 又因为 所以 所以 所以 所以 即 共线,【规律总结】共线向量定理的应用 (1)证明三点共线：证明立体几何中的三点共线问题，可以用三点构造两个向量，证明这两个向量共线，进而就能证明三点共线. (2)利用共线向量定理求字母的值：列方程(组)：已知三点共线时，可先转化为向量共线，再利用共线向量的充要条件，列出有关系数的方程(组)求出对应系数的值.,【巩固训练】如图所示，在正方体ABCD-A1B

16、1C1D1中，E在A1D1上， 且 F在对角线 上，且 求证：E，F，B三点共线,【解题指南】要证E，F，B三点共线，只需证 即可. 为此，选取基向量 用空间向量的加减运算，结合已知条 件求证,【证明】设 因为 所以 所以 所以 又 所以 所以E，F，B三点共线,【补偿训练】如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边 AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且 求证：四边形EFGH是梯形,【证明】因为E，H分别是AB，AD的中点， 所以 因为 所以 所以,所以 因为EFG，所以EHFG且|EH| |FG|， 所以四边形EFGH是梯形,类型三：共面向量定理的应用 【典例3】正

17、方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面. 【解题指南】利用共面向量定理，令 建立，的方程组求出，进行证明.,【解析】令 因为M，N，P，Q均为棱的中点， 所以 令 则 所以 所以,所以 因此向量 共面， 所以M，N，P，Q四点共面,【规律总结】应用空间向量共面定理的解题策略 (1)恰当转化：转化是一种重要的数学思想方法，将式子转化为共面向量定理的形式，可快速找到解题思路. (2)列方程(组)：证明四点共面时，可先转化为证明向量共面，再利用共面向量定理，列出系数x，y的方程(组)，求出x，y，问题得证. (3)正难则反：当直接证明难以入手时常采用反证法，反证法是先否定命题结论，然后进行推理，推出矛盾，从而否定假设，肯定原命题正确.,【巩固训练】对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点 试证 共面,【证明】空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，利用多边 形加法法则可得， 又E，F分别是AB，CD的中点， 故有 由+，结合可得 所以 即 共面,【拓展延伸】性质法解决空间向量的共面问题 判定三个向量共面一般用pxayb，证明点线共面常用 证明四点共面常用 (其中x yz1),【补偿训练】1.在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(