人教A数学选修21同课异构教学课件241抛物线及其标准方程探究导学课型

1、2.4抛物线 2.4.1抛物线及其标准方程,【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，并识记抛物线的定义和标准方程，初步会求抛物线的标准方程,【知识链接】 1.二次函数的图象：二次函数的图象是特殊的抛物线，当顶点在原点，以坐标轴为对称轴时，即本节所学的抛物线 2.抛物面的性质：从焦点发出的光线，被抛物面反射后成为一束平行光线,主题一：抛物线的定义 【自主认知】 1.我们在黑板上画一条直线l，然后取一个三角板，将一条拉链上边一半的一端A固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在F点，将三角板的另一条直角边贴在直线l上，在拉锁P处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出什么图形？,

2、提示：如图所示，会得到一条抛物线.,2.在作图过程中，动点P有什么特点？ 提示：点P到直线l的距离等于点P到点F的距离.,根据以上探究过程，试着写出抛物线的定义： 平面内与_ _叫做抛物线.点F叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_.,一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的,轨迹,焦点,准线,【合作探究】 1.直线l能否通过点F？ 提示：不能，否则画出的图形是一条直线. 2.变化点F到l的距离，画出的抛物线有什么变化？ 提示：随着点F到l的距离变大，抛物线的开口变大.,【过关小练】 1.在平面直角坐标系内，到点(1，1)和直线x+2y=3的距离相等的点的轨迹是() A.直线 B

3、.抛物线 C.圆 D.双曲线 【解析】选A.因为点(1，1)在直线x+2y=3上，故所求点的轨迹是过点(1，1)且与直线x+2y=3垂直的直线.,2.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为 () A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 【解析】选A.设圆C的半径为r，则圆心C到直线y=0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0，3)的距离为r+1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y=0的距离大1，故点C到点(0，3)的距离和它到直线y=-1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的轨迹为抛物线.,主题二：抛物线的标准方程 【自主认知】 1.根据抛物

4、线的几何特征，对于开口向右的抛物线如何建立坐标系才能使求出的抛物线的方程比较简单？ 提示：如图，建立直角坐标系xOy，使x轴经过点F且 垂直于直线l，垂足为K，并使原点与线段KF的中点 重合.这样所求出的抛物线的方程比较简单.,2.在问题1所建立的坐标系的情况下，依据哪种方法可求出抛物线的标准方程？ 提示：依据抛物线的定义，利用直接法即可求出抛物线的标准方程.,根据以上探究过程，试完成抛物线标准方程的相关内容： 抛物线的标准方程,【合作探究】 1.抛物线的开口方向与哪个量有关系？ 提示：抛物线的开口方向与一次项及其系数的正负有关系. 2.抛物线的标准方程中，参数p的几何意义是什么？ 提示：p的

5、值等于抛物线的焦点到准线的距离. 3.要确定抛物线的解析式，需要确定的量是什么？ 提示：需要确定焦点的位置及2p的值.,【拓展延伸】抛物线与二次函数图象的关系： 当抛物线是开口向上或向下时，该曲线也是二次函数的图象；当抛物线是开口向右或向左时，该曲线不是二次函数的图象.,【过关小练】 1.抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为 () A.2 B.3 C.4 D.5,【解析】选D.方法一：因为y=4，所以x2=4y=16， 所以x=4， 不妨取A(4，4)，焦点坐标为(0，1)， 所以所求距离为 方法二：抛物线的准线为y=-1，所以A到准线的距离为5，又因为A到准线的距

6、离与A到焦点的距离相等.所以距离为5.,2.求适合下列条件的抛物线的标准方程 (1)过点(-3,2).(2)焦点在直线x-2y-4=0上. 【解析】(1)设抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p0), 则将点(-3,2)代入方程得 所以所求的抛物线方程为,(2)令=，由方程x-2y-4=0的=-2. 所以抛物线的焦点为F(0,-2). 设抛物线方程为x2=-2py. 则由 得2p=8, 所以所求的抛物线方程为x2=-8y. 或令y=0,由x-2y-4=0得x=4, 所以抛物线焦点为(4,0).,设抛物线方程为y2=2px. 则由 得2p=16, 所以所求的抛物线方程为y2=16x. 综上

7、，所求抛物线的标准方程为x2=-8y或y2=16x.,【归纳总结】 1.抛物线的“一动三定” 抛物线的定义可归为“一动三定”，即“一个动点M”“一个定点F”“一条定直线l”“一个定值”.其中“定点”为抛物线的焦点，“定直线”为抛物线的准线，“定值”指点M到点F的距离与它到定直线l(准线)的距离之比等于1.,2.抛物线标准方程的特征 (1)等号的一边是某变量的完全平方，另一边是另一变量的一次项. (2)当对称轴为x轴时，方程中的一次项就是x的一次项，且符号指明了抛物线的开口方向：x的系数为正时开口向右，为负时开口向左. (3)当对称轴为y轴时，方程中的一次项就是y的一次项，且符号指明了抛物线的开

8、口方向：y的系数为正时开口向上，为负时开口向下.,【拓展延伸】抛物线的参数方程 对于抛物线x2=2py(p0)，其参数方程为 设抛物线x2=2py 上动点P坐标为(2pt,2pt2)，O为抛物线的顶点，显然 即t的几何意义为过抛物线顶点O的动弦OP的斜率.,类型一：抛物线的定义及应用 【典例1】(1)(2015双鸭山高二检测)动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，则动圆必过定点() A.(4，0) B.(2，0) C.(0，2) D.(0，-2) (2)已知动圆过点(1，0)，且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹是_. 【解题指南】(1)利用圆心到切线的距离等于半径

9、可以确定定点. (2)圆心到定点和定直线距离相等，轨迹是抛物线.,【解析】(1)选B.因为圆心到直线x+2=0的距离等于到抛物线焦点的距离，所以定点为(2，0). (2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与其到直线x=-1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹是抛物线. 答案：抛物线,【规律总结】抛物线的判断方法 (1)可以看动点是否符合抛物线的定义，即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离. (2)求出动点的轨迹方程，看方程是否符合抛物线的方程.,【巩固训练】动点M的坐标满足方程 =3x+4y-12，则动点M的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛

10、物线 D.以上都不对 【解析】选C.把方程 =3x+4y-12转化为 设动点M(x,y)，上式可看作动点M到原点的距离等于动点M到直线3x+4y-12=0的距离，所以动点M的轨迹是以原点为焦点，以直线3x+4y-12=0为准线的抛物线.,【补偿训练】已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为( ) A. B.1 C.2 D.4 【解析】选C.抛物线的准线为 将圆的方程化简得到(x3)2y216，准线与圆相切， 则 所以p=2.,类型二：求抛物线的标准方程 【典例2】(1)(2015银川高二检测)若动点M(x，y)到点F(4，0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，

11、则点M的轨迹方程是() A.x+4=0 B.x-4=0 C.y2=8x D.y2=16x (2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是 () A.y2=-8x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=4x,(3)(2015南通高二检测)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，抛物线的方程是_.,【解题指南】(1)利用抛物线的定义求解. (2)利用抛物线的定义求参数p. (3)利用待定系数法求解.,【解析】(1)选D.依题意可知，点M到点F的距离等于点M到直线x=-4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p=8，顶点

12、在原点，焦点在x轴正半轴上， 所以其方程为y2=16x. (2)选C.由准线方程为x=-2，可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p=4，所以抛物线的方程为y2=2px=8x.,(3)依题意，设抛物线方程是y2=2px(p0)，则有2+ =3，得p=2，故抛物线方程是y2=4x. 答案：y2=4x,【延伸探究】 1.(改变问法)本典例(3)中的条件不变，试求点M到原点的距离. 【解析】因为抛物线方程为y24x，所以M的坐标为 所以M到原点的距离为,2.(变换条件)本典例(3)条件改为“抛物线关于y轴对称”，求抛物线 的方程. 【解析】当焦点在y轴正半轴时，设方程为x2=2py(p0) 则由题意可得

13、 解得 所以抛物线方程为 当焦点在y轴负半轴时，设抛物线方程为x2=-2py(p0)，则由题意 可得 解得 所以抛物线方程为,【规律总结】抛物线标准方程的求法 (1)定义法：建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程. (2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值. 提醒：焦点位置不确定时，要对各种可能的情况分别进行讨论，以确定抛物线的方程.,【补偿训练】求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)过抛物线y2=2mx的焦点F作x轴的垂线交抛物线

14、于A，B两点，且 |AB|=6. (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点 到焦点的距离 是6.,【解析】(1)设抛物线的准线为l，交x轴于K点， l的方程为 如图，作AAl于A， BBl于B，则|AF|AA|FK|m|， 同理|BF|m|.又|AB|6， 则2|m|6. 所以m3，故所求抛物线方程为y26x.,(2)设焦点F(a,0)，|PF| 即a210a90，解得a1或a9.当焦点为F(1，0)时，p2，抛物线开口方向向左，其方程为y24x；当焦点为F(9,0)时，p18，抛物线开口方向向左，其方程为y236x.,类型三：抛物线的实际应用 【典例3】(2015雅安高二检测)一辆卡车高3m

15、，宽1.6m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为am，求使卡车通过的a的最小整数值. 【解题指南】以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系后，利用已知条件求出抛物线方程，然后求解.,【解析】以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系， 则B点的坐标为 如图所示，设隧道所在抛物线方程为x2 my，则 所以ma，即抛物线方程为x2ay. 将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82ay， 即 欲使卡车通过隧道，应有 即 由于a0，得上述不等式的解为a12.21，所以a应取13.,【规律总结】抛物线应用题的解法 (1)抛物线应用题的解题关键：把实际问题

16、转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题. (2)建立抛物线的标准方程的方法：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系.这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用.,【巩固训练】一抛物线拱桥跨度为52m，拱顶离水面6.5m，一竹排上载有一宽4m，高6m的大木箱，问竹排能否安全通过？,【解析】如图所示建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为x2=-2py，则有A(26，-6.5)， 设B(2，y)， 由262=-2p(-6.5)得p=52， 所以抛物线方程为x2=-104y. 当x=2时，4=-104y， 因为6.5- 6，所以能安全通过.,【补偿训练】如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按如图所示的方法进行折叠，使每次折叠后点B都落在AD边上，此时记为B(注：图中EF为折痕，点F也可落在CD边上).过点B作BTCD交EF于