人教A数学选修21同课异构教学课件12第2课时充要条件的应用精讲优练课型

1、第2课时 充要条件的应用,【自主预习】 1.充要条件 (1)定义:若pq且qp,则记作_,此时p是q的充分 必要条件,简称充要条件. (2)条件与结论的等价性:如果p是q的充要条件,那么q 也是p的_.,pq,充要条件,2.互为充要条件 如果_,那么p与q互为充要条件.,pq,【即时小测】 1.若p是q的必要条件,s是q的充分条件,那么下列推理一定正确的是() A.ps B.sp C.ps D.ps 【解析】选A.因为p是q的必要条件,s是q的充分条件,所以qp,sq,所以sp,则根据逆否命题的等价性可知:ps.,2.“|x|=|y|”是“x=y”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

2、 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.|x|=|y|x=y或x=-y,x=y|x|=|y|.,3.已知sin0”是“为第三象限角”的() A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.当sin0为第三象限角.,4.在锐角ABC中,“A= ”是“sinA= ”成立的_条件. 【解析】因为ABC是锐角三角形,所以A= sinA= . 答案:充要,5.“log3M log3N”是“M N”成立的_条件. 【解析】由log3Mlog3N,又因为对数函数y=log3x在定义域(0,+)上单调递增,所以MN;当MN,由于不知道M,N是否

3、为正数,所以log3M,log3N不一定有意义,故不能推出log3Mlog3N,所以log3Mlog3N是M N成立的充分不必要条件. 答案:充分不必要,【知识探究】 探究点充要条件 1.符号“”的含义是什么? 提示:“”表示“等价”,如“A与B等价”指的是“如果A,那么B”,同时有“如果B,那么A”,或者说“从A推出B”,同时可“从B推出A”.,2.p的充要条件是q与p是q的充要条件一样吗? 提示:从充要性来说一样,但“p的充要条件是q”的充分性是qp,而“p是q的充要条件”的充分性是pq.,【归纳总结】 1.命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类 (1)充分必要条件(充要条件),即pq

4、且qp; (2)充分不必要条件,即pq且q p; (3)必要不充分条件,即p q且qp; (4)既不充分又不必要条件,即p q且q p.,2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件,其中p:A=x|p(x)成立,q:B=x|q(x)成立. 特别提醒:p是q的充要条件意味着“p成立则q成立;p不成立则q不成立”.,类型一充要条件的判断 【典例】1.(2015重庆高考)“x1”是“ (x+2) 0”的() A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件,2.（2016天津高考）设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条

5、件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件,【解题探究】 1.典例1中如何求满足 (x+2)1. 2.题2中判断的关键是什么？ 提示：分y0和y0去绝对值讨论.,【解析】1.选B. (x+2)1x-1,因此若x1,则x-1成立,若x-1,则x1不一定成立,所以是充分不必要条件.,2.选C. 当y0时，xy x|y|；当y|y| xy但xy x|y|.所以“xy”是“x|y|”的必 要而不充分条件.,【方法技巧】充要条件的常用判断方法 (1)命题判断法: 设“若p,则q”为原命题,那么: 原命题为真,逆命题为假时,p是q的充分不必要条件; 原命题为假,逆命题为真时,p是q的必要不充分条件

6、; 原命题与逆命题都为真时,p是q的充要条件;,原命题与逆命题都为假时,p是q的既不充分也不必要条件. (2)等价转化法: p是q的什么条件等价于q是p的什么条件.,【变式训练】 1.“a-2”是“函数f(x)=ax+3在区间-1,2上存在零点”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选A.若函数f(x)=ax+3在区间-1,2上存在零点,则f(-1)f(2)0,得a3或a- ,所以“a-2”是“函数f(x)=ax+3在区间-1,2上存在零点”的充分不必要条件.,2.已知命题p:x1或y2,命题q:x+y3,则命题p是q的() A.充

7、分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选B.命题p:x1或y2,则p:x=1且y=2;命题q:x+y3,则q:x+y=3,易知pq,其等价命题为qp,故p是q的必要不充分条件.,3.(2016北京高考)设a,b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,【解题指南】利用向量加法的平行四边形法则，减法 的三角形法则解决. 【解析】选D.由|a+b|=|a-b|可得ab.所以“|a|=|b|” 是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件.

8、,类型二充要条件的证明 【典例】(2016广安高二检测)求证:0a0对一切实数x都成立的充要条件. 【解题探究】典例中不等式成立的条件怎样求? 提示:分a=0,a0两种情况求.,【解析】充分性:当00对一切实数x都成立. 而当a=0时,不等式ax2-ax+1-a0可变成10. 显然当a=0时,不等式ax2-ax+1-a0对一切实数x都成立.,必要性:因为ax2-ax+1-a0对一切实数x都成立, 所以a=0或 解得0a0对一切实数x都成立的充要条件.,【方法技巧】充要条件的证明策略 (1)要证明一个条件p是否是q的充要条件,需要从充分性和必要性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“

9、若q,则p”为真. (2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明,证明p与q的解集是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.,【变式训练】已知a,b是实数,求证:a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1.该条件是否为必要条件?试证明你的结论.,【解析】因为a2-b2=1,所以a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=(a2+b2)-2b2=a2-b2=1. 即a4-b4-2b2=1成立的充分条件是a2-b2=1. 另一方面,若a4-b4-2b2=1,即a4-(b4+2b2+1)=0, a4-(b2+1)2=0,(a2-b2-1)

10、(a2+b2+1)=0. 又a2+b2+10,所以a2-b2-1=0,即a2-b2=1. 因此a2-b2=1是a4-b4-2b2=1成立的必要条件.,【补偿训练】(2016西安高二检测)若M,A,B三点不 共线,且存在实数1,2,使 ,求 证:“C为AB的中点”的充要条件是“1=2= ”.,【解题指南】证明时首先搞清楚条件p和结论q分别指什么,然后证明pq(充分性)和qp(必要性)成立.,【证明】充分性:因为1=2= , 所以 即 即 =0,所以C为AB的中点.,必要性:因为C为AB的中点,所以 所以 所以 .又因为M,A,B三点不共线, 所以 是平面向量的一组基底,所以1=2= . 所以“C

11、为AB的中点”的充要条件是“1=2= ”.,类型三求充要条件 【典例】1.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是_. 2.(2016运城高二检测)求关于x的一元二次不等式ax2+1ax对于一切实数x都成立的充要条件.,【解题探究】 1.直线与圆相切的充要条件是什么? 提示:圆心到直线的距离等于半径. 2.求一个问题的充要条件的关键是什么? 提示:关键是把这个问题进行等价转化.,【解析】1.直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切 圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于 |m+2|=2m=-4或0. 答案:m=-4或0 2.由题可知等价于 0a

12、4.,【延伸探究】 1.典例2中不等式改为ax2-1ax,求其对于一切实数x都成立的充要条件. 【解析】不等式恒成立等价于 解得-4a0.,2.典例2中的不等式改为方程,求方程有两个正根的充要条件. 【解析】一元二次方程为ax2-ax+1=0,设方程的两根为x1,x2, 则方程有两个正根的充要条件是 解得a4.,【方法技巧】求充要条件的方法 求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合.这就要求我们转化的时候思维要缜密.,【补偿训练】求一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件. 【解析】方法一:设方程两根为x1,x2,则方程有一正根和一负根的充要条件是x1x2= 0,即ac0.,方法二:(1)先求必要条件: 因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,设为x1,x2,则由根与系数的关系得x1x2= 0,即ac0;,(2)证明该条件是充分的: 当ac0.所以方程一定有两个不等实根,设为x1,x2, 则x1x2= 0,所以方程的两根异号. 即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根. 由(1)(2)可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac0.,自我纠错充要条件的判断 【典例】若a,b为实数,则“ab1”是“0a ”