人教A数学选修21同课异构教学课件222椭圆的简单几何性质2精讲优练课型

1、第2课时 椭圆方程及性质的应用,类型一直线与椭圆的位置关系 【典例】1.(2016徐州高二检测)直线y=kx+1与焦点 在x轴上的椭圆 =1总有公共点,则m的取值范围 是_.,2.直线l:y= +2和椭圆2x2+3y2=6公共点的个数为 _. 3.对不同的实数m,讨论直线y=x+m与椭圆 +y2=1的位 置关系.,【解题探究】1.本例1中直线y=kx+1是否恒过定点?若恒过定点,过哪个定点?当点在什么位置时,经过该点的直线总与椭圆有公共点? 提示:恒过定点(0,1),当点在椭圆上或在椭圆内部时,经过该点的直线与椭圆总有公共点.,2.本例2中判断直线是否与椭圆有公共点,常用什么方法? 提示:判断

2、直线与椭圆是否有公共点,往往利用判别式的符号进行判断.,3.本例3中解决的关键是什么? 提示:根据方程组 的解的个数判断相应位 置关系.,【解析】1.方法一:联立方程,得 消去y,整理得(m+5k2)x2+10kx+5(1-m)=0, 所以=100k2-20(m+5k2)(1-m)=20m(5k2+m-1). 因为直线与椭圆总有公共点, 所以0对任意kR都成立.,因为m0,所以5k21-m恒成立,所以1-m0,即m1. 又因为椭圆的焦点在x轴上,所以0m5, 所以1m5.,方法二:因为直线y=kx+1过定点M(0,1), 所以要使直线与该椭圆总有公共点,则点M(0,1)必在椭 圆内或椭圆上,由

3、此得 解得1m5. 答案:1,5),2.由 得2x2+ =6, 即 =(2 )2-4 6=24-60=-360. 因此直线与椭圆没有公共点. 答案:0,3.由 得 +(x+m)2=1, 整理得5x2+8mx+4m2-4=0. 此方程的实数根的个数由根的判别式决定, =(8m)2-45(4m2-4)=16(5-m2).,当- 0, 方程有两个不同的实数根,代入可得到两个不同的公共点坐标,此时直线与椭圆相交. 当m=- 或m= 时,=0, 方程有两个相等的实数根,代入可得到一个公共点坐标,此时直线与椭圆相切. 当m 时,0, 方程没有实数根,直线与椭圆相离.,【延伸探究】将本例2的直线方程改为“y

4、=x+2”则交点的个数为_.,【解析】由 得 5x2+12x+6=0,所以=144-1200, 所以交点的个数为2. 答案:2,【方法技巧】判断直线与椭圆交点个数的方法 联立直线与椭圆方程,消去y或x,得到关于x或y的一元 二次方程,记该方程的判别式为,则(1)直线与椭圆相 交0;(2)直线与椭圆相切=0;(3)直线与椭圆 相离0. 特别提醒:注意方程组的解与交点个数之间的等价关系.,【变式训练】已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m,当直线与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围.,【解析】由方程组 消去y整理,得 5x2+2mx+m2-1=0. 因为直线与椭圆有公共点, 所以=4m2-20(

5、m2-1)=20-16m20, 解之得- m , 即m的取值范围为,类型二弦长及中点问题 【典例】已知点P(4,2)是直线l被椭圆 所截 得的线段的中点,求直线l的方程.,【解题探究】如何应用本例中的条件“弦的中点点P(4,2)”解题? 提示:利用方程根与系数的关系或点差法解题.,【解析】方法一:由题意可设直线l的方程为y-2=k(x- 4),而椭圆的方程可以化为x2+4y2-36=0. 将直线方程代入椭圆方程有 (4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0. 所以x1+x2= =8,所以k=- .,所以直线l的方程为y-2=- (x-4), 即x+2y-8=0.,方法二

6、:设直线l与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 所以 两式相减,有 (x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.,又x1+x2=8,y1+y2=4,所以 即k=- .所以直线l的方程为x+2y-8=0.,【延伸探究】 1.求直线l被椭圆截得的弦长. 【解析】由题意可知直线l的方程为x+2y-8=0,联立椭圆方程得x2-8x+14=0.,方法一:解方程得 所以直线l被椭圆截得的弦长为,方法二:因为x1+x2=8,x1x2=14. 所以直线l被椭圆截得的弦长为,2.把题设条件换成:已知点P(4,2)是直线l:x+2y-8=0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中

7、点,求该椭圆的离心率.,【解析】设椭圆方程为 =1(ab0), 直线x+2y-8=0与椭圆交于A,B两点,且 A(x1,y1),B(x2,y2),则 -得,即 因为kAB=- ,AB中点为(x0,y0),x0=4,y0=2, 所以- =-2 ,即a2=4b2. 所以该椭圆的离心率为,【方法技巧】 1.直线与椭圆相交弦长的有关问题 (1)当弦的两端点的坐标易求时,可直接求出交点坐标,再用两点间距离公式求弦长.,(2)当弦的两端点的坐标不易求时,可用弦长公式. 设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则有,(3)如果直线方程涉及斜率,要注意斜率不存在的情况.,2.解决椭圆中点弦问题

8、的三种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.,(2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系.,(3)共线法:利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设其一交点为A(x,y),则另一交点为B(2x0-x,2y0-y), 则 两式作差即得所求直线方程.,特别提醒:利用公式计算弦长时,要注意这两个公式的区别,切勿记错.,【补偿训练】过点P(-1,1)的直线与椭圆 =1交 于A,B两点,若线段AB的中点恰为点P,求AB所在的直线 方程

9、及弦长|AB|.,【解析】设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 直线AB的斜率为k,则,两式相减变形得 =0, 又P(-1,1)为弦AB的中点, 所以k= , 所以直线AB的方程为y-1= (x+1), 即x-2y+3=0,由 消去y,得3x2+6x+1=0. 所以x1+x2=-2,x1x2= , |AB|=,类型三与椭圆有关的综合问题 角度1:最值问题 【典例】(2015浙江高考)已知椭圆 +y2=1上两个 不同的点A,B关于直线y=mx+ 对称.,(1)求实数m的取值范围. (2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).,【解题探究】典例中如何设直线AB的方程? 提示:由

10、点A,B关于直线y=mx+ 对称知直线AB的方程可 设为y=- x+b.,【解析】(1)由题意知m0,可设直线AB的方程为y= - x+b,由 消去y整理得, 因为直线y=- x+b与椭圆 +y2=1有两个不同的交点, 所以=-2b2+2+ 0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=- (x1+x2)+2b= 所以线段AB的中点 ,将点M的坐标代,入直线方程y=mx+ ,解得b=- ,由解得 m .,(2)令t= ,则 且O到直线AB的距离为d= ,设AOB的面积为S(t), 所以S(t)= |AB|d= ,当,且仅当t2= 时,等号成立,故AOB面积的最大值为,角度2:利用椭

11、圆的几何性质求离心率 【典例】(2014天津高考)设椭圆 =1(ab0) 的左、右焦点为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知,(1)求椭圆的离心率. (2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.,【解题探究】本例如何转化条件“以线段PB为直径的圆经过点F1”? 提示:可转化为,【解析】(1)设椭圆的右焦点F2的坐标为(c,0). 由|AB|= ,可得a2+b2=3c2, 又b2=a2-c2,则 .所以,椭圆的离心率e= .,(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为 设P(x0,y0).由F1(c,0)，B(

12、0,c)，有 由已知,有 即(x0+c)c+y0c=0.又c0,故有x0+y0+c=0.,又因为点P在椭圆上,故 由和可得3x02+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故 x0= 代入得y0= ,即点P的坐标为 设圆的圆心为T(x1,y1),则,进而圆的半径 设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx. 由l与圆相切,可得 即,整理得k2-8k+1=0,解得k=4 . 所以,直线l的斜率为4+ 或4- .,【延伸探究】把本例条件“经过原点O的直线l与该圆 相切”换成“经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2| =2 ”,求椭圆的方程.,【解析】由例题解析结合已知,有|TF2|2=|

13、MF2|2+r2, 又|MF2|=2 ,故有 解得c2=3.所以所求椭圆的方程为,【方法技巧】解决与椭圆有关的最值问题的三种方法 (1)定义法:利用定义转化为几何问题处理. (2)数形结合法:利用数与形的结合,挖掘几何特征,进 而求解. (3)函数法:探求函数模型,转化为函数的最值问题借助 函数的单调性、基本不等式等求解,注意椭圆的范围.,【变式训练】(2016菏泽高二检测)如图所示,点A,B 分别是椭圆 =1长轴的左、右端点,点F是椭圆的 右焦点,点P在椭圆上,且位于x轴上方,PAPF.,(1)求点P的坐标. (2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点

14、M的距离d的最小值.,【解题指南】(1)设出点的坐标,联立方程组求解. (2)配方法求最值.,【解析】(1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0), 设点P的坐标是(x,y), 则 =(x+6,y), =(x-4,y). 由已知得 则2x2+9x-18=0,即得x= 或x=-6.,由于y0,只能x= ,于是y= 所以点P的坐标是,(2)直线AP的方程是x- y+6=0. 设点M的坐标是(m,0),则M到直线AP的距离是 ,于 是 =|m-6|,又-6m6,解得m=2,设椭圆上的点 (x,y)到点M的距离为d,有d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20- x2= +15,由于-6x6. 所以当x= 时,d取最小值 .,自我纠错椭圆几何性质的应用 【典例】已知2x2+3y2=6,则x2+y2+2x的最小值为_.