人教高中数学必修三课件13算法案例第1课时辗转相除法与更相减损术秦九韶算法

1、1.3 算法案例 第1课时 辗转相除法与更相减损术、 秦九韶算法,回顾算法的三种表述： 自然语言 程序框图（三种逻辑结构） 程序语言（五种基本语句）,希腊人常以线段代数.甲乙两数可以看成长度分别为甲乙两数的直尺拿短尺去量长尺，若有剩余，再用剩余部分为尺，去量原来的短尺，如此继续下去.如果两尺长度之比为有理数，经过辗转相量，在有限次内，总会有量尽的时候.若最后量尽时所用的尺回头分别来量原来的两把尺，也会量尽的.希腊人就说这两把尺（两个线段，两个数）是可共度的.这就是辗转相除法.希腊人以为任何两段都是可共度的，后来发现问题不那么简单. 除了辗转相处法，古代还有什么类似的成就呢？,1.通过辗转相除法

2、与更相减损术、秦九韶算法的学习,进一步体会算法思想. 2.会用辗转相除法与更相减损术求两个数的最大公约数.(重点) 3.会用秦九韶算法求多项式的值.(重点) 4.了解三种算法的程序框图和程序(难点),9 15,18和30的最大公约数是23=6.,先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来.,问题1：在小学，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？,2,3,18 30,问题2:我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与61

3、05的最大公约数?,一、辗转相除法 （欧几里得算法）,思考：算出8 251和6 105的最大公约数.,第一步,用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8 251=6 1051+2 146. 结论：8 251和6 105的公约数就是6 105和2 146的公约数，求8 251和6 105的最大公约数，只要求出6 105和2 146的最大公约数就可以了.,1.课堂探究,第二步,对6 105和2 146重复第一步的做法，6 105=2 1462+1 813，同理6 105和2 146的最大公约数也是2 146和1 813的最大公约数.,完整的过程:,8 251=6 1051+2 146,6 105

4、=2 1462+1 813,2 146=1 8131+333,1 813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,显然37是148和37的最大公约数，也就是8 251和6 105的最大公约数.,（1）算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数.若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数.,2、辗转相除法,（2）算法步骤 第一步,输入两个正整数m,n(mn). 第二步,计算m除以n所得的余数r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若r0,则m,n的最大公约数等于m；

5、否则转到第二步. 第五步,输出最大公约数m.,（3）程序框图,（4）程序,INPUT m,n DO r = m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END,开始,输入m，n,求m除以n的余数r,m=n,n=r,r=0？,是,输出m,结束,否,除了辗转相除法，还有其他的方法求两正整数的最大公约数吗？,可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之. 更相减损术,第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步. 第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.

6、继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.,1、课堂探究,二、更相减损术,2、更相减损术 （1）算理：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤，直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数.,（2）算法步骤 第一步,输入两个正整数a,b; 第二步,若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步； 第三步,把a-b的差赋给r; 第四步,如果br, 那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步； 第五步,输出最大公约数b

7、.,（3）程序框图,开始,输入a，b,br？,a=b,是,输出b,结束,ab？,r=a-b,是,否,b=r,a=r,否,（4）程序,INPUT “a,b=“;a,b WHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END,例1 用辗转相除法与更相减损术求98与63的最大公约数.,解：更相减损术 由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,三、例题选讲,9863356335283528728721 21714 1477 所以，98与63的最大公约数等于7.,辗转相除法 98631+3563351+28352

8、81+72874+0 所以，98与63的最大公约数等于7.,辗转相除法与更相减损术的比较:,（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 （2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.,除了上述算法，下面学习另外一种古代优秀的算法.,对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.,1.课堂探究,四、秦九韶算法,思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+

9、x+1，求f(5)的值. 若先计算各项的值，然后再相加，那么一共要做多少次乘法运算和多少次加法运算？ 4+3+2+1=10次乘法运算，5次加法运算.,思考2:在上述问题中，若先计算x2的值，然后依次计算x2x，(x2x)x，(x2x)x)x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，再将这些数与x相乘和1相加，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？ 4次乘法运算，5次加法运算.,思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn +an-1xn-1 +a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？ f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+a2x+

10、a1)x+a0 =(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0 = =(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.,这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？,思考4:对于f(x)=(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x +a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？ 第一步,计算v1=anx+an-1. 第二步,计算v2=v1x+an-2. 第三步,计算v3=v2x+an-3. 第n步,计算vn=vn-1x+a0.,最后的一项是什么？,思考5:上述求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0

11、)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？ n次乘法运算，n次加法运算 思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？ vk=vk-1x+an-k (k=1，2，n),秦九韶算法的程序设计 思考1:用秦九韶算法求多项式的值，其算法步骤如何设计？,第一步，输入多项式的次数n，最高次项的系数an和x的值. 第二步，令v=an，i=n-1. 第三步，输入i次项的系数ai. 第四步，v=vx+ai，i=i-1. 第五步，判断i0是否成立.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.,算法步骤,开始,输入n，an，x的值,v=an,v=vx+ai,输入ai,i0？,i=n-1,i=

12、i-1,结束,是,输出v,否,思考2:该算法的程序框图如何表示？,INPUT “n=”；n INPUT “an =”；a INPUT “x=”；x v=a i=n-1 WHILE i=0 PRINT “i=”;i INPUT “ai=”；a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END,思考3:该程序框图对应 的程序如何表述？,例2、已知一个5次多项式为 f(x)=4x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8， 用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.,解：根据秦九韶算法把多项式改写成如下形式：f(x)=(4x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.

13、按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5时的值：,v0=4; v1=45+2=22； v2=225+3.5=113.5； v3=113.55-2.6=564.9； v4=564.95+1.7=2 826.2； v5=2 826.25-0.8=14 130.2. 所以f(5)=14 130.2.,阅读右面程序， 说明它解决的 实际问题是什么？ 解：求多项式 f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4 在x=a时的值.,INPUT “x=”；a n=0 y=0 WHILE n5 y=y+(n+1)*an n=n+1 WEND PRINT y END,【变式练习】,1下列对辗转相除法的说法错误

14、的是() A辗转相除法也叫欧几里得算法，但比欧几里得算法早 B辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数 C在对两个数求最大公约数时，除辗转相除法之外还有更相减损术 D在用辗转相除法时，需要用到循环语句编写程序,A,2秦九韶算法与直接计算相比较，下列说法错误 的是() A秦九韶算法与直接计算相比，大大节省了乘法的次数，使计算量减小，逻辑结构简单 B秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就加快了计算的速度 C秦九韶算法减少做乘法的次数，在计算机上也就降低了计算的速度 D秦九韶算法避免对自变量x单独作幂的计算，而是与系数一起逐次增长幂次，从而可提高计算的精度,C,3.利用辗转相除法求两数4 081与20 723的最大公约数. 解： 20 723=4 0815+318; 4 081=31812+265; 318=2651+53; 265=535+0.,所以4 081与20 723的最大公约数是53.,4.已知f(x)3x42x24x2，利用秦九韶算法求f(2)的值,解: f(x)3x40 x32x24x2(3x0)x2)x4)x2， v13(2)06； v26(2)214； v314(2)424； v424(2)250. 故f(2)50.,5.阅读下列程序，