人教A高中数学选修11同课异构课件321几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式探究导学课型

1、3.2导数的计算 第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式,【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材,了解几个常用函数的导数的得出过程,并初步识记基本初等函数的导数公式.,【知识链接】 1.导数的公式:f(x)= 2.用导数的定义求导数的步骤: (1)求函数的增量y. (2)求平均变化率 (3)求极限得出导函数,主题:几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式 【自主认知】 1.根据导数的定义,推导函数y=c(c为常数),y=x的导数. 提示:对于函数y=c(c为常数), 所以 y= 对于函数y=x, 所以y= =1.,2.根据导数的定义,推导函数y=x2,y= 的导数. 提示:对

2、于函数y=x2, 所以y= (2x+x)=2x. 对于函数y= , 所以,根据以上探究过程,试着写出四种常见函数的导数与基本初等函数的导数公式. 1.四种常见函数的导数 (1)y=c(c为常数)的导函数为:_; (2)y=x的导函数为:_; (3)y=x2的导函数为:_; (4)y= 的导函数为:_.,y=0,y=1,y=2x,2.基本初等函数的导数公式 (1)若f(x)=c(c为常数),则f(x)=_; (2)若f(x)=x(Q*),则f(x)=_; (3)若f(x)=sinx,则f(x)=_; (4)若f(x)=cosx,则f(x)=_; (5)若f(x)=ax,则f(x)=_(a0);

3、(6)若f(x)=ex,则f(x)=_;,0,x-1,cosx,-sinx,axlna,ex,(7)若f(x)=logax,则f(x)=_(a0,且a1); (8)若f(x)=lnx,则f(x)=_.,【合作探究】 1.函数y=x2与y= 的导函数能否看作一类函数的导数? 提示:能,都可以看作幂函数y=x(Q*)的导函数. 2.函数y=kx(k0)增加(减少)的快慢与什么有关? 提示:函数y=kx(k0)增加(减少)的快慢与k有关,即与函数的导数有关,k越大,函数增加(减少)得越快(越慢),k越小函数增加(减少)得越慢(越快).,【拓展延伸】几个常见函数的物理意义 (1)y=c表示路程关于时间

4、的函数,则y=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态. (2)y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体的瞬时速度始终为1的匀速运动. (3)y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.,3.如何区分f(x)=sinx与f(x)=cosx的导数特征? 提示:从导数公式(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx看出:一要注意函数 名称的变化,二要注意符号的变化,特别注意(cosx)=-sinx,而不是 (cosx)=sinx. 4.函数f(x)=lnx与f(x)=logax的导数公式之间有哪些差异与联系?

5、提示:函数f(x)=logax的导数公式为f(x)=(logax)= ,当a=e时, 上述公式就变为(lnx)= . 即f(x)=lnx的导数公式是f(x)=logax的导数公式的特例.,【拓展延伸】正、余弦函数导数的周期性 若令f1(x)=sinx,fk+1(x)=fk(x)(kN*),f2(x)=cosx,f3(x)=-sinx, f4(x)=-cosx,f5(x)=sinx,于是可知函数fk+1(x)=fk(x)(kN*)的 结果具有周期性.,【过关小练】 1.函数f(x)=0的导数是() A.0B.1 C.不存在D.不确定 【解析】选A.常数函数的导数为0.,2.已知函数f(x)= ,

6、则f(-2)=() A.4B.C.-4D.- 【解析】选D.因为f(x)= 所以f(-2)=,3.已知f(x)=2x,则f(1)=_. 【解析】因为f(x)=2x,所以f(x)=2xln2, 所以f(1)=21ln2=2ln2. 答案:2ln2,【归纳总结】 基本初等函数的导数公式的特点 (1)常数函数的导数为零. (2)有理数幂函数的导数是幂函数型函数,其系数为原函数的次数,幂指数是原函数的幂指数减去1. (3)正弦函数的导数为余弦函数,余弦函数的导数为正弦函数的相反数. (4)指数函数的导数是指数型函数,其系数为以原函数底数为真数的自然对数.,类型一:常用函数的导数 【典例1】(1)函数f

7、(x)=e的导数为() A.eB.0C.不存在D.不确定 (2)函数y= 在点 处的导数值是() A.4B.-4C.-D.,【解题指南】(1)直接利用常用函数的导数即可.(2)可先求出函数 y= 的导数,再代入求值. 【解析】(1)选B.因为f(x)=e为常数函数,所以f(x)=0. (2)选B.因为y=- ,所以当x= 时,y=-4.,【延伸探究】 1.(变换条件)若把本例(2)中的点“ ”改为“ ”,则结果如何? 【解析】因为y=- ,所以当x=2时,y= 2.(变换条件,改变问法)若把本例(2)中的条件改为“函数y= 在点 (m,n)处的导数值为-1”,则m+n的值是多少? 【解析】因为

8、y=- ,又在点(m,n)处的导数值为1,所以 =-1, 故m2=1,所以m=1.当m=1时,n=1,当m=-1时,n=-1,故m+n=2或m+n=-2.,【规律总结】定义法求导与公式法求导的对比 (1)定义法求导:导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是用极限定义的,所以该方法求导最终归结为求极限,在运算上很麻烦,运算会很困难. (2)公式法求导:用导数定义推导出常见函数与基本初等函数的导数公式后,就可以用公式直接求导,该方法简捷迅速.,【补偿训练】求下列函数的导数: (1)y=sin .(2)y=x-1. 【解析】(1)因为函数y=sin = ,所以y=0. (2)因为函数y=x

9、-1= ,所以y=- .,类型二:利用基本初等函数的导数公式求导 【典例2】求下列函数的导数. (1)y=x8. (2)y= . (3)y= . (4)y=2x. (5)y=log2x. (6)y=,【解题指南】(1)利用幂函数公式求导.(2)先化简转化为幂函数求导.(3)先化简转化为幂函数求导.(4)利用指数函数求导.(5)利用对数函数求导.(6)先化简再求导.,【解析】(1)y=(x8)=8x8-1=8x7. (2)y= =(x-4)=-4x-5. (3)y= (4)y=(2x)=2xln2. (5)y=(log2x)= (6)因为y= =sinx, 所以y=(sinx)=cosx.,【规

10、律总结】求简单函数导数的策略 (1)看形式:首先观察函数的形式,看是否符合基本初等函数的形式,如 对于形如 的函数一般先转化为幂函数的形式,再用幂函 数的求导公式求导. (2)化简:对于不具备基本初等函数特征的函数可进行适当变形,将其 化成基本初等函数或与之相接近的函数形式,如将根式、分式化为指 数式,利用幂函数求导. (3)选公式:选择恰当的公式求解函数的导数. 提醒:区分指数函数、对数函数的求导公式,以免在运用时混淆.,【巩固训练】(2015惠州高二检测)已知f(x)= 且f(1)=- , 求n. 【解析】f(x)= 所以f(1)=- , 由f(1)=- 得- =- ,得n=3.,【补偿训

11、练】求下列函数的导数. (1)y=a2(a为常数). (2)y=x12. (3)y=x-5. (4)y=lgx.,【解析】(1)因为a为常数,所以a2为常数,所以y=(a2)=0. (2)y=(x12)=12x11. (3)y=(x-5)=-5x-6= (4)y=(lgx)=,类型三:利用导数公式求切线方程 【典例3】(2015盐城高二检测)求过曲线y=cosx上点 且与在这点的切线垂直的直线方程. 【解题指南】先根据导数求出切线的斜率,进而可得与切线垂直的直线的斜率,再利用点斜式求出与切线垂直的直线的方程.,【解析】令f(x)=y=cosx,则f(x)=y=-sinx, 曲线在点 处的切线斜率是 所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为 所以所求的直线方程为 即,【规律总结】求切线方程的步骤 (1)利用导数公式求导数. (2)求斜率. (3)写出切线方程. 求解时注意导数为0和导数不存在的情形.,【巩固训练】(2015广州高二检测)曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率