人教A数学选修21同课异构教学课件242抛物线的简单几何性质第1课时探究导学课型

1、2.4.2抛物线的简单几何性质 第1课时抛物线的简单几何性质,【阅读教材】 根据下面的知识结构图阅读教材，并识记双曲线的有关性质，初步掌握双曲线的性质,【知识链接】 1.二次函数的值域：二次函数的值域即抛物线上点的纵坐标的取值范围，由图象可知二次函数的值域取决于开口方向和顶点的纵坐标 2.抛物线的概念：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 3.待定系数法求抛物线方程：抛物线的标准方程中只有一个系数p，利用抛物线的几何性质可以得到关于p的方程，解方程可求得p，进而求出抛物线的方程,主题：抛物线的几何性质 【自主认知】 1.观察下列图形，探究以下问题：,(1)观察焦点在x

2、轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ 提示：抛物线与另两种曲线相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.,(2)根据图形及抛物线方程y2=2px(p0)如何确定横坐标x的范围？ 提示：由抛物线y2=2px(p0)有 所以x0. 所以抛物线的范围为x0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.,2.观察下面表格，探究以下问题：,(1)抛物线是中心对称图形吗？它有渐近线吗？ 提示：抛物线

3、不是中心对称图形，也没有渐近线. (2)观察表中抛物线图象上点与焦点和准线的距离的联系，结合抛物线离心率的概念探究抛物线离心率的大小. 提示：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率，通过抛物线的定义及图形特点易得抛物线的离心率为1.,(3)观察图象，分析抛物线的顶点坐标，以及对称性分别是什么？ 提示：所有抛物线的标准形式都有顶点(0，0).焦点在x轴上时抛物线图象关于x轴对称，焦点在y轴上时抛物线图象关于y轴对称.,根据以上探究过程，试着完成下列填空： 抛物线的简单几何性质,x0,yR,x0,yR,xR,y0,xR,y0,x,y,O(0,0),1,【合作探究】 1.在

4、同一坐标系中作出抛物线y2=4x，y2=2x，y2=x，y2= 的图形.观察并回答抛物线的开口大小由什么决定？,提示：作出图形如图所示，根据图形比较可知，开口大小由p决定，p越大，开口越开阔，p越小则开口越小.,2.过抛物线y2=2px(p0)的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段的长度是多少？ 提示：2p，画抛物线时往往参考这条线段，以防止开口画得过大或过小.,【过关小练】 1.正三角形一个顶点是抛物线x2=2py(p0)的焦点，另两个顶点在抛物线上，则满足此条件的正三角形共有() A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 【解析】选C.由抛物线的对称性可知，另两个顶点一组在焦点的下方，

5、一组在焦点的上方，共有两组.,2.已知F是拋物线y2x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF| |BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为( ) 【解析】选C.根据拋物线的定义与梯形中位线定理，得线段AB的中点 到y轴的距离为,【归纳总结】 1.对抛物线中参数的两点说明 (1)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的开口大小与开口方向与a有关，开口的大小仅由|a|的大小决定. (2)“p”的值是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于零，要特别注意抛物线标准方程的一次项系数为负数时，不能出现错误.,2.抛物线几何性质的特征 (1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近

6、线. (2)抛物线只有一条对称轴，没有对称中心. (3)抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线. (4)抛物线的离心率是确定的为1.,【拓展延伸】抛物线的通径及与抛物线的焦点弦相关的两个相切 (1)通径：过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦.设过抛物线 y2=2px(p0)的焦点F作垂直于对称轴的直线，交抛物线于A，B两点， 则线段AB称为抛物线的“通径”，由A( ，p)，B( ，-p)可知通径 的长|AB|等于2p. (2)两个相切：以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切. 过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆 与焦点弦相切.,类型一：抛物线的性质及应用 【典例1】(1

7、)(2015陕西高考)已知抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1,1)，则抛物线焦点坐标为( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1),(2)(2014山东高考)已知双曲线 的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2=2py(p0)的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|=c，则双曲线的渐近线方程为_.,【解题指南】(1)利用抛物线y2=2px(p0)的准线经过点(-1，1)， 求得 即可求出抛物线焦点坐标 (2)利用双曲线与抛物线准线的交点为突破口求出a,b之间的关系， 进而求得双曲线的渐近线方程.,【解析】(1)选B.因为抛物线y2=2p

8、x(p0)的准线经过点(-1，1)， 所以 所以该抛物线焦点坐标为(1，0) (2)由题意知 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 即(c,-b)代入双曲线 方程为 得 所以 所以渐近线方程为y=x. 答案：y=x,【规律总结】把握三个要点确定抛物线简单几何性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间、准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 提醒：根据抛物线的方程确定抛物线的性质，要注意首先将抛物线方程化为标准形式，避免因思维定式

9、误为焦点在x轴上的抛物线作答.,【巩固训练】已知抛物线y2=8x， (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围. (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|=|OB|，若焦点F是OAB的重心，求OAB的周长. 【解题指南】(1)利用抛物线对应性质的公式求解.(2)利用抛物线的对称性即重心的性质求解.,【解析】(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0，0)，(2，0)，x=-2，x轴，x0. (2)如图所示.由|OA|OB|可知ABx轴， 垂足为点M，又焦点F是OAB的重心， 则 因为F(2,0)，所以 所以M(3,0)，故

10、设A(3，m). 代入y28x得m224，,所以 所以 所以|OA|OB| 所以OAB的周长为,【补偿训练】(2015孝感高二检测)在抛物线y216x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为( ),【解析】选D.抛物线y216x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)， 设P(x，y)符合题意，则有 所以符合题意的点为,类型二：根据抛物线的性质求方程 【典例2】(1)顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是() A.x2=3y B.y2=6x C.x2=12y D.x2=6y,(2)已知双曲线C1： 的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近

11、线的距离为2，则抛物线C2的方程为_,【解题指南】(1)利用待定系数法求解. (2)求出双曲线的渐近线后，利用抛物线的焦点到渐近线的距离为2，求参数p.,【解析】(1)选C.依题意知抛物线方程为x2=2py(p0)，又 所以p=6，2p=12，故方程为x2=12y. (2)因为双曲线C1： 的离心率为2，所以 所以 所以双曲线的渐近线方程为 所以抛物线C2：x22py(p0)的焦点 到双曲线的渐近线的距 离为 所以p8.所以所求的抛物线方程为x216y. 答案：x216y,【规律总结】待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (1)定位置：根据抛物线的几何性质等条件确定焦点的位置或开口方向. (2)设

12、方程：根据确定的焦点位置设出相应的方程，若未能确定则要分情况讨论. (3)列方程：利用准线、焦点等条件列出关于p的方程，确定p的值. (4)写出方程：根据求出的p值，代入设出的方程，确定抛物线方程.,【巩固训练】已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程.,【解析】由题意，设抛物线方程为y2=ax(a0). 焦点 直线l： 所以A，B两点的坐标分别为 所以AB=|a|， 因为OAB的面积为4， 所以 所以 所以抛物线的方程为,【补偿训练】拋物线顶点在原点，它的准线过双曲线 (a0，b0)的一个焦点，并与

13、双曲线实轴垂直，已知拋物线与双曲 线的一个交点为 求拋物线与双曲线方程,【解析】由题设知，拋物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线 的左焦点，所以p2c， 设拋物线方程为y24cx. 因为拋物线过点 所以 所以c1， 故拋物线方程为y24x.又双曲线 过点 所以 又a2b2c21，所以 所以 或a29(舍)所以 故双曲线方程为,类型三：焦点弦问题 【典例3】(2015九江高二检测)过抛物线y2=4x的焦点F作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1+x2=6，则线段AB的长为 () A.8 B.10 C.6 D.4 【解题指南】利用抛物线的定义，把|AB|=|AF|+|

14、BF|转化为A，B两点到准线的距离的和来求解.,【解析】选A.由抛物线的方程得 所以根据抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=,【延伸探究】 1.(变换条件)本典例中，若A,B是倾斜角为60的直线与抛物线的交点，则|AB|等于多少？ 【解析】因为抛物线的焦点是(1,0)，所以AB的方程为 与抛物线方程联立消去y得3x210 x+3=0，所以 从而|AB|=x1+x2+p=,2.(改变问法)本典例中，证明以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，该结论能否推广到任意抛物线？,【解析】因为AB中点的横坐标为 所以以AB为直径的圆的 圆心到准线x=1的距离为4，而AB的长度为8，所以以AB为直径的

15、圆 的半径为4，故该圆与准线相切.可以推广 ，证明如下： 设抛物线方程为y22px， 过焦点的弦为AB，中点为M，准线为l， A1,B1分别为A,B在准线l上的射影，则|AA1|AF|，|BB1|BF|，于 是M到l的距离 半径，故 相切,【规律总结】 1.抛物线焦点弦问题的解法 (1)由于抛物线的焦点弦过焦点，因此与焦点弦有关的问题要注意结合抛物线的定义求解. (2)焦点弦有关的问题要把过焦点的直线方程与抛物线方程联立，再结合根与系数的关系求解.,(3)求焦点弦的长度可以利用两点间的距离公式，也可以利用弦长公 式，但由于弦过焦点，结合抛物线的定义得出焦点弦长为x1+x2+p， 同时由弦长x1

16、+x2+p =2p知，通径是所有弦中最短的弦.,2.抛物线的焦点弦的常见结论 (1)若AB是抛物线y2=2px(p0)的焦点弦(过焦点的弦)，且 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 (2)若AB是抛物线y2=2px(p0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为， 则AB=,3.焦点弦公式 抛物线y2=2px(p0)，|AB|=p+(x1+x2) 抛物线y2=-2px(p0)，|AB|=p-(x1+x2) 抛物线x2=2py(p0)，|AB|=p+(y1+y2) 抛物线x2=-2py(p0)，|AB|=p-(y1+y2),【补偿训练】1.过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则A1FB1为() A.45 B.60 C.90 D.120,【解析】选C.设抛物线方程为y2=2px(p0). 如图，因为|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|， 所以AA1F=AFA1，BFB1=FB1B. 又AA1OxB1B， 所以A1FO=FA1A，B1FO=FB1B， 所以A1FB1= AFB=90.,2.设F为抛物线y24x的焦点，A,B,C为该抛物线上三点，若 0，则 等于( ) A9 B6 C4 D3 【解析】选B.设A,B,C三点坐标分别为(x1，y1),(x2，y2),(x3，y3) 由题意知F(1,0)