人教A数学选修21同课异构教学课件222椭圆的简单几何性质第2课时探究导学课型

1、2.2.2椭圆的简单几何性质 第2课时 椭圆方程及性质的应用,类型一：直线与椭圆的位置关系 【典例1】(1)(2015晋中高二检测)若直线mx+ny=4与O：x2y2 4没有交点,则过点P(m，n)的直线与椭圆 的交点个数为 ( ) A2个 B至多一个 C1个 D0个 (2)已知椭圆E： 直线l：yxm与椭圆E有两个公共点， 则实数m的取值范围是_.,【解题指南】(1)先利用直线与圆的位置关系判断出点P与椭圆的位置关系，再确定过点P的直线与椭圆的交点个数. (2)直线与椭圆相交，则联立后的方程应有判别式0.,【解析】(1)选A.由题意得 所以m2n24 所以2m2，2n2 所以点(m，n)在椭

2、圆 内，故过点P(m，n)的直线与椭圆 有2个交点,(2)由 消去y得，3x24mx2m280 因为直线l与椭圆E有两个公共点， 所以16m212(2m28)0，解得 所以实数m的取值范围是 答案：,【规律总结】直线与椭圆的位置关系 直线ykxm与椭圆 的位置关系判断方法： 由 消去y(或x)得到一个一元二次方程,【巩固训练】1.若直线ykx2与椭圆 相切，则斜率k的 值是( ) 【解析】选C.把ykx2代入 得 (23k2)x212kx60， 由于0，所以 所以,2.求证：不论m取何值，直线l：mxym10与椭圆 总有交点 【证明】方法一：由 消去y得 整理，得(16m2+9)x2-32m(

3、m-1)x+16m2-32m-128=0. 因为=322m2(m-1)2-4(16m2+9)(16m2-32m-128) =576(15m2+2m+8),所以方程(*)恒有实根所以原方程组恒有解 故直线l与椭圆总有交点 方法二：直线l的方程可化为m(x1)(y1)0， 故直线l恒过x10和y10的交点A(1，1) 又点A在椭圆 内部， 所以直线l与椭圆总有交点,【补偿训练】无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 交点情况 为( ) A.没有公共点 B.有一个公共点 C.有两个公共点 D.有公共点 【解析】选D.由于直线过定点(0,2)，且点(0,2)在椭圆 上，所以直线与椭圆有公共点.,类型二：

4、直线被椭圆截得的弦长问题 【典例2】(2015泉州高二检测)已知斜率为2的直线经过椭圆 的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长 【解题指南】可先求出A，B两点坐标，再转化为两点间的距离问题；也可以利用弦长公式求解,【解析】因为直线l过椭圆 的右焦点F1(1,0)， 又直线的斜率为2，所以直线l的方程为y2(x1)， 即2xy20 方法一：解方程组 得交点A(0，2)， 所以|AB|,方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由方程组 消去y得3x25x0，因为=(-5)2=250,则x1x2 x1x20 所以|AB|,方法三：由方程组 消去x得 3y22y80， 因为=22+

5、438=1000 则 所以|AB|,【延伸探究】 1.(变换条件，改变问法)本典例中，若椭圆的左焦点为F，求ABF的 面积. 【解析】由椭圆方程知左焦点F(-1,0)，又直线方程为2xy20, 所以ABF的高为 所以ABF的面积为,2.(变换条件，改变问法)本典例中，去掉条件“斜率为2”，增加 “弦AB的长为 ”求直线AB的方程. 【解析】当直线的斜率不存在时，方程为x=1,显然被椭圆截得的弦长 为 不是 不合题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-1). 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标为方程组 的解 消去y得 (4+5k2)x2-10k2x+5k2-20=0

6、,=100k4-4(4+5k2)(5k2-20)=4(80k2+80)0 所以 代入弦长公式得 AB= 解得 所以直线AB的方程为,【规律总结】直线被椭圆截得的弦长的求法思路 (1)求两交点坐标，转化为两点间距离. (2)用公式来求. 设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB= 提醒：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0.,【补偿训练】过椭圆 的左焦点且斜率为1的弦AB的长是 _. 【解析】椭圆的左焦点为(-4,0),由 得34x2+200 x+175=0, 所以 所以|A

7、B|= 答案：,类型三：与弦的中点相关的问题 【典例3】(1)椭圆 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的 直线方程是( ) A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y-12=0 D.x+2y-8=0 (2)(2014江西高考)过点M(1,1)作斜率为 的直线与椭圆C： 相交于A,B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离 心率为_.,【解题指南】(1)设出A，B两点的坐标代入椭圆方程，利用“点差法”可以求得直线的斜率. (2)利用“点差法”和点M的坐标可以得到a，b的关系式，进而可求离心率.,【解析】(1)选D.设这条弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),斜率为k, 两式相

8、减再变形得 所以 又弦中点为(4,2),故 故这条弦所在的直线方程为 整理得x+2y-8=0.,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)， 则 -得 所以 又M(1，1),所以x1+x2=2,y1+y2=2, 所以 所以a2=2b2,所以 答案：,【规律总结】椭圆中点弦问题的两种解法及点差法的基本步骤 (1)一元二次方程根与系数的关系法：利用一元二次方程根与系数的关系及中点坐标公式来构造. (2)点差法：利用点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率.基本步骤如下： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有2x0=x1+x2， 2y0=y1+y2，又,因

9、为A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上， 所以 两式相减得 b2(x12-x22)+a2(y12-y22)=0,即 所以,【巩固训练】已知椭圆E： 的右焦点F(3,0)，过点 F的直线交E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，-1)，则E的方程为 ( ) 【解题指南】本题中给出AB的中点坐标，所以在解题时先设出A,B两 点坐标，然后采用点差法求解.,【解析】选D.由椭圆 得，b2x2+a2y2=a2b2, 因为过F点的直线与椭圆 交于A，B两点， 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 则b2x12+a2y12=a2b2 , b2x22+a2y22=a2b2 , 由-得b2(x12-x22)+a2(y12-y22)=0, 化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0, 2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,又直线的斜率为 即 因为b2=a2-c2=a2-9，所以 解得a2=18,b2=9. 故椭圆方程为,【补偿训练】平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： 右焦点的直线 交M