第四章运筹应用.ppt

1、第四章 线性规划问题的应用,一、人力资源分配的问题 例1某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?,解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的 数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1,x2,x3,x4

2、,x5,x6 0 (50,20,50,0,20,10),例2福安商场是个中型的百货商场，它 对售货员的需求经过统计分析如右表： 为了保证售货人员充分休息，售货人员 每周工作 5天，休息两天，并要求休息的两 天是连续的。问应该如何安排售货人员的作 息，既满足工作需要，又使配备的售货人员 的人数最少？,解：设 xi ( i = 1 - 7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的 数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x

3、6 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0 (12,0,11,5,0,8,0),二、生产计划的问题 例3明兴公司生产甲、乙、 丙三种产品，都需要经过铸造、 机加工和装配三个车间。甲、乙 两种产品的铸件可以外包协作， 亦可以自行生产，但产品丙必须 本厂铸造才能保证质量。数据如 右表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各

4、生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？,解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数， x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和 可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利润分别为 15、10、7、13、9 元。 这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： s.t. 5x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4

5、 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0 (1600,0,0,0;29400),三、套裁下料问题 例4某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？ 解： 设计下列 5 种下料方案,设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。 这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x

6、3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 100 x1,x2,x3,x4,x5 0 (30,10,0,50,0),四、任务安排,解 设流水线Ai加工产品Bj的件数为Xij (i=1,2,3;j=1,2,3,4), Min z=27x11+17x12+37x13+.+29x34 S.t x11+x21+x31=200 x12+x22+x32=150 x13+x23+x33=250 X14+x24+x34=300 2x11+x12+3x13+2x14 1500 3x21+2x22+4x23+4x24 1800 X31+2x32+x33+2x34 2000 Xij

7、0,例5： 有四种产品，可用三条流水线生产，每条流水线加工每件产品所需的工时和产品的需求量如下表，三条流水线的生产成本分别为每小时7、8和9元。如何安排生产，使总成本最少？,五、市场销售,例6：广告方式的选择： 某公司的一个月的广告预算20000元，要求，一个月内至少有8个电视商业节目，15条报纸广告，且整个电视广告费不超过12000元，电台广播至少隔日有一次。问如何安排，才能取得最佳效果？,解：设x1,x2,x3,x4,x5分别是一个月内电视台A,电视台B，每日晨报、星期日报和广播电台宣传的次数，则所求问题： Max 50 x1+80 x2+30 x3+40 x4+15x5 s.t 500

8、x1+1000 x2+100 x3+300 x4+80 x5 20000 x1+ x2 8 x3+ x4 15 500 x1+1000 x2 12000 x1 16,x2 10,x3 24,x4 4,x5 25 x1,x2,x3,x4,x5 0,六、配料问题 例7某工厂要用三种原料1、 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、乙、丙，数据如右表。 问：该厂应如何安排生产，使利 润收入为最大？,解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x3

9、3； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。,目标函数： Max z = 50(x11+ x12 + x13)+35(x21+ x22 + x23)+25(x31+ x32 + x33)-65(x11+ x21 + x31)-25(x12+ x22 + x32)-35(x13+ x23 + x33) 约束条件： s.t. x11 0.5(x11+ x12 + x13) （原材料1不少于50%） x12 0.25

10、(x11+ x12 + x13) （原材料2不超过25%） x210.25(x21+ x22 + x23)（原材料1不少于25%） x22 0.5(x21+ x22 + x23)（原材料2不超过50%） x11+ x21 + x31 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 60 (供应量限制） xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3,max z=-15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 S.t 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1

11、不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超过50%） x11+ x21 + x31 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33 60 (供应量限制） xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3 (x11=100, x12=50, x13=50,其余皆为0),七、投资问题(P171) 例8：某公司拥有的100万元可以

12、有5个选择进行投资，在已知其年利润率的情况下，需要满足以下要求： （1）电力公司的投资至少要等于化学工业投资的两倍，但每种投资都不得超过投资总额的50%； （2）购买国库券至少应占整个工业投资的10%； （3）对光明化工公司的投资最多只能占化学工业投资的65%,解：设给第i个项目投资xi万元， Max z=0.062x1+0.071x2+0.098x3+0.072x4+0.047x5 s.t x1+ x2- 2x3- 2x4 0 x1+ x2 50 x3+ x4 50 -0.1x1-0.1x2-0.1x3-0.1x4+x5 0 0.35x3-0.65x40 xi0,例9某部门现有资金200万元

13、，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项 目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第 一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额 不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规 定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本 利155%，但规定最大投资额不能超过100万元； 据测定每万元每次投资的风险指数如右表： 问： a）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？ b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在3

14、30万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？,解： 1）确定决策变量：连续投资问题 设 xij ( i = 1 - 5，j = 1、2、3、4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24,2）约束条件： 第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200； 第二年：B次年末才可收回投资，故第二年年初的资金为 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； 第

15、三年：年初的资金为 x21+x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； 第四年：年初的资金为 x31+x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； 第五年：年初的资金为 x41+x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投资限制： xi2 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 3）目标函数及模型： a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4） b) Min f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+