132函数的极值与导数

1、3.3.2函数的极值与导数,f (x)0,f (x)0,复习:函数单调性与导数关系,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导，,f(x)增函数,f(x)减函数,巩固：,定义域R,f(x)=x2-x=x(x-1),令x(x-1)0, 得x1， 则f(x)单增区间（，0）,（1，+）,令x(x-1)0,得0x1, f(x)单减区(0,2).,注意: 求单调区间: 1:首先注意 定义域, 2:其次区间不能用 ( U) 连接,（第一步）,解：,（第二步）,（第三步）,在x1 、 x3处函数值f(x1)、 f(x3) 与x1 、 x3左右近旁各点处的函数值相比,有什

2、么特点? f (x2)、 f (x4)比x2 、x4左右近旁各点处的函数值相比呢?,观察图像：,函数的极值定义,设函数f(x)在点x0附近有定义，,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；,如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0),则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；,函数的极大值与极小值统称为极值. (极值即峰谷处的值）,使函数取得极值的点x0称为极值点,（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值,（2）极大值不一定比

3、极小值大,（3）可导函数f(x),点是极值点的必要条件是在该 点的导数为0,例：y=x3,1理解极值概念时需注意的几点 (1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的 (2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点 (3)若f(x)在a，b内有极值，那么f(x)在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上的单调函数没有极值,总结,(4)极大值与极小值没有必然的大小关系一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值(如图(1),(5)若函数f(x)在a，b上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，

4、相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点 2导数为0的点不一定是极值点,练习：,下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.,a,b,x,y,x1,O,x2,x3,x4,x5,x6,探究：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？,结论:极值点处，如果有切线，切线水平的.即: f (x)=0,f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,思考;若 f (x0)=0，则x0是否为极值点？,进一步探究:极值点两侧函数图像单调性有何特点?,极大值,极小值,即: 极值点两侧单调性互异,f (x)0,x1,极大值点两侧

5、,极小值点两侧,f (x)0,f (x)0,f (x)0,探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?,x2,f(x) 0,f(x) =0,f(x) 0,极大值,f(x) 0,f(x) =0,极小值,f(x) 0,注意:(1) f(x0) =0， x0不一定是极值点,(2)只有f(x0) =0且x0两侧单调性不同 ， x0才是极值点. (3)求极值点，可以先求f(x0) =0的点，再列表判断单调性,结论：极值点处，f(x) =0,因为 所以,例1 求函数 的极值.,解:,令 解得 或,当 , 即 , 或 ; 当 , 即 .,当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:,+,+,单调递增,单调递减

6、,单调递增,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ;,当 x = 2 时, f (x)有极小值 4 / 3 .,变式,求下列函数的极值:,解:,令 解得 列表:,+,单调递增,单调递减,所以, 当 时, f (x)有极小值,求下列函数的极值:,解:,解得 列表:,+,+,单调递增,单调递减,单调递增,所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 .,求下列函数的极值:,解:,解得,所以, 当 x = 2 时, f (x)有极小值 10 ;,当 x = 2 时, f (x)有极大值 22 .,解得,所以, 当 x = 1 时, f (x)有极小值 2 ;,当 x = 1 时, f (x)有极大值 2 .,求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）