人教A高中数学必修四课件121任意角的三角函数二2

1、1.2.1 任意角的三角函数(二),1.相关概念 (1)单位圆 以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)有向线段 带有_(规定了起点和终点)的线段叫做有向线段 规定：方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之为负值,方向,2.三角函数线,MP,OM,AT,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值.( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负.( ) (3)若角的正弦线长度为1，则sin =1.( ),【解析】(1)错误.三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值. (2)正确.凡是与x轴或y轴正向同向的为正值，反向的为负值. (3)错误.没

2、有指明正弦线的方向，故sin=1. 答案：(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)如图 的正弦线是_，余弦线是_，正切 线是_. (2)比较大小：sin 1_sin (填“”或“”) (3)若sin 0，则的取值范围是_,【解析】(1)由三角函数线的定义知正弦线是MP，余弦线是 OM，正切线是AT. 答案：MP OM AT (2) 结合单位圆中的三角函数线知 答案： (3)由sin 0，如图,利用三角函数线可得 2k2k，kZ. 答案：2k，2k(kZ),【要点探究】 知 识 点 三角函数线 对三角函数线的四点说明 (1)正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函

3、数的几何表示，这三种线段都是与单位圆有关的有向线段，这些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值,(2)三角函数线都是有向线段因此在用字母表示这些线段时，也要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序也不能颠倒为此，我们规定凡由原点出发的线段，以原点为起点；不从原点出发的线段，以三角函数线与坐标轴的交点为起点,(3)三角函数线的画法： 作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线 作正切线时，应从A(1,0)点引x轴的垂线，交的终边(为第一或第四象限角)或终边的反向延长线(为第二或第三象限角)于点T，即可得到正切线AT.,(4)三

4、角函数线的主要作用： 解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小. 是以后学习三角函数图象与性质的基础,【微思考】 (1)三角函数线的长度和方向各表示什么？ 提示：长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负. (2)三角函数线的方向有何特点？ 提示：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点(1,0)指向与终边的交点.,【即时练】 1.下列说法不正确的是( ) A.当角的终边在x轴上时，角的正切线是一个点 B当角的终边在y轴上时，角的正切线不存在 C.正弦线的始点随角的终边位置的变化而变化 D余弦线和正切线的始点都是原点 【解析】选D. 余弦线始点是原点

5、，正切线的始点是点(1,0).,2.已知是锐角，若sin cos ，则角的取值范围是_ 【解析】如图单位圆中，0MPOM，所以 答案：,【题型示范】 类型一 三角函数线的概念问题 【典例1】 (1)已知 则x的取值集合是_. (2)在单位圆中画出满足 的角的终边并作出其正弦线、余弦线和正切线,【解题探究】1.题(1)中满足 的角x有多少个？它们 之间有什么关系？ 2.题(2)中满足 的角是什么？ 【探究提示】1.满足 的角x有无穷多个.它们之间相 差180的整数倍. 2.满足 的角为 或,【自主解答】(1) 如图所示： 在0360范围内，正切值为 的角有两个：60和 240，满足tan x=

6、的角x的终边与60和240的终边 重合，则x的取值集合是x|x=60+k360或x=240+ k360,kZ，即x|x=60+k180,kZ. 答案：x|x=60+k180,kZ,(2)如图作直线y 交单位圆于P,Q，则OP,OQ为角的终边 如图所示，当的终边是OP时，角的正弦线为MP，余弦线 为OM，正切线为AT. 当的终边为OQ时，角的正弦线为NQ，余弦线为ON，正切线 为AT.,【延伸探究】若将题(2)中“sin ”改为“sin ”，其他条件不变，则角的终边落在什么范围内？ 【解析】结合题(2)解析可知，当 sin 时，角的终边 与 相交.角的终边在 内.,【方法技巧】单位圆中求作角的终

7、边的方法 应用三角函数线可以求作满足形如f()=m的三角函数的角的终边.(1)作出直线y=m或x=m与单位圆的交点.(2)将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边.,【变式训练】试作出角 的正弦线、余弦线、正切线 【解析】如图： = 的正弦线、余弦线、正切线分别为MP，OM，AT.,【补偿训练】若是第一象限角，则sin cos 的值与1的大小关系是( ) A.sin cos 1 Bsin cos 1 C.sin cos 1 D不能确定,【解析】选A. 如图，角的终边与单位圆交于P点，过P作PMx轴于M点，由三角形两边之和大于第三边可知sin cos 1.,类型二 利用三角函数线比较大小 【典例

8、2】 (1)(2014宿州高一检测)如果 那么下列不等式成立的是( ) A.cos sin tan B.tan sin cos C.sin cos tan D.cos tan sin (2)利用三角函数线比较下列各组数的大小：,【解题探究】1.题(1)中能否从三角函数线上比较三角函数值的大小？ 2.题(2)中当角的终边在第二象限时如何作出其正切线？ 【探究提示】1.可在同一坐标系内分别作出正弦线、余弦线和正切线，通过“形”的直观来比较大小. 2.可通过作角终边的反向延长线作出正切线.,【自主解答】(1)选A.如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OMM

9、PAT，即cos sin tan .,(2)如图所示，角 的终边与单位圆的交点为P，其反向延长 线与单位圆的过点A的切线的交点为T，作PMx轴，垂足为M， 则,的终边与单位圆的交点为P，其反向延长线与单位圆的 过点A的切线交点为T，作PMx轴，垂足为M，则 由图可见，MPMP0，ATAT0， 所以 ,【方法技巧】三角函数线比较大小的两个关注点 (1)三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值 (2)比较两个三角函数值的大小，不仅要看其长度，还要看其方向,【变式训练】比较大小：sin 1 155_sin(1 654)(填“”).,

10、【解析】sin(3360+75)=sin 75，sin(5360 +146)=sin 146，在单位圆中，分别作出sin 75和 sin 146的正弦线M2P2和M1P1，如图： 因为M1P1sin(1 654). 答案：,【补偿训练】设 则a,b,c的大小顺序为_ (按从小到大的顺序排列). 【解析】如图,在单位圆中分别作出 的正弦线M1P1， 的余弦线OM2、正切 线AT.由 知，M1P1=M2P2， 又 易知OM2M2P2AT， 所以 故bac. 答案：bac,类型三 利用三角函数线解三角不等式 【典例3】 (1)(2014济南高一检测)函数 的定义域为 _. (2)求下列函数的定义域：

11、 ,【解题探究】1.题(1)中开偶次方根时，对被开方数有什么 要求？ 2.题(2)中需满足什么要求? 【探究提示】1.开偶次方根时要求被开方数为非负数. 2.中需满足 中需满足,【自主解答】(1)要使 有意义， 则必须满足2sin x+10即sin x 结合三角函数线(如图所示)知x的取值范 围是 答案：,(2)要使函数有意义，则 所以 如图所示， 所以,要使函数有意义，则 所以 如图所示， 所以,【方法技巧】解形如f()m或f()m(|m|1)的三角不等式的方法 (1)在直角坐标系及单位圆中，标出满足f()=m的两个角的终边. 若f为sin，则角的终边是直线y=m与单位圆的两个交点与原点的连

12、线； 若f为cos，则角的终边是直线x=m与单位圆的两个交点与原点的连线；,若f为tan，则角的终边与角的终边的反向延长线表示的正切值相同. (2)根据三角函数值的大小，找出在02内的取值，再加上k2(kZ).,【变式训练】利用三角函数线，写出满足下列条件的角的 集合：,【解析】(1)由图知：当sin 时，角满足的集合为,(2)由图知：当cos 时，角满足的集合为 (3)如图，作出单位圆 所以角满足的集合为,【补偿训练】若0,2)，且 求角的取值 范围 【解析】如图， OM为0,2)内的角 和 的余弦线，欲使 则角的余弦线大于等于OM，当OM伸长时，OP与OQ扫过部分为 扇形POQ，所以,【易错误区】对三角函数线概念理解不准而致误 【典例】(2014天水高一检测)已知角的余弦线是长度为单位长度的有向线段，那么角的终边在( ) A.x轴的正半轴上 B.x轴的负半轴上 C.x轴上 D.y轴上,【解析】选C.由角的余弦线是长度为单位长度的有向线段，得cos =1， 故角的终边在x轴上.,【常见误区】,【防范措施】 正确理解有向线段和三角函数线 有向线段既有长度又有方向，如本例中长度为