统计量及抽样分布.ppt

1、第六章 统计量及其抽样分布,6.1 统计量,6.1.1 统计量的概念 6.1.2 常用统计量 6.1.3 次序统计量 6.1.4 充分统计量,参数和统计量,参数(parameter) 描述总体特征的概括性数字度量，是研究者想要了解的总体的某种特征值 一个总体的参数：总体均值()、标准差()、总体比例()；两个总体参数：(1 -2)、(1-2)、(1/2) 总体参数通常用希腊字母表示 统计量(statistic) 用来描述样本特征的概括性数字度量，它是根据样本数据计算出来的一些量，是样本的函数 一个总体参数推断时的统计量：样本均值(x)、样本标准差(s)、样本比例(p)等两个总体参数推断时的统计

2、量： (x1-x2)、(p1-p2)、(s1/s2) 样本统计量通常用小写英文字母来表示,常用统计量,样本均值,样本方差,样本标准差,常用统计量,样本变异系数,K阶距,K阶中心距,次序统计量,哪些是次序统计量： 中位数、分位数、四分位数、极差和均值,充分统计量,统计计量加工过程中一点信息都不损 失的统计量通常称为充分统计量。,6.2 关于分布的几个概念,6.2.1 抽样分布 6.2.2 渐近分布 6.2.3 随机模拟获得的近似分布,样本统计量的概率分布，是一种理论分布 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布 随机变量是 样本统计量 样本均值, 样本比例，样本方差

3、等 结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据,抽样分布 (sampling distribution),抽样分布的形成过程 (sampling distribution),渐近分布,当n较大时，就用极限分布作为抽样分 布的一种近似，这种极限分布称为渐近分 布。,2 分布,由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出，后来由海尔墨特(Hermert)和卡皮尔逊(KPearson) 分别于1875年和1900年推导出来 设 ，则 令 ，则 y 服从自由度为1的2分布，即 对于n个正态随机变量y1 ，y2 ，yn，则随机变量 称

4、为具有n个自由度的2分布，记为,c2-分布(2-distribution),不同自由度的c2-分布,分布的变量值始终为正 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称 期望为：E(2)=n，方差为：D(2)=2n(n为自由度) 可加性：若U和V为两个独立的2分布随机变量，U2(n1)，V2(n2),则U+V这一随机变量服从自由度为n1+n2的2分布,c2-分布(性质和特点),c2-分布(用Excel计算c2分布的概率),利用Excel提供的【CHIDIST】统计函数，计算c2分布右单尾的概率值 语法：CHIDIST(x,degrees_freedom

5、) ，其中df为自由度，x,是随机变量的取值 利用【CHIINV】函数则可以计算给定右尾概率和自由度时相应的反函数值 语法：CHIINV(probability,degrees_freedom), 用Excel计算c2 分布的概率,t 分布,t-分布 (t-distribution),提出者是William Gosset，也被称为学生分布(students t) t 分布是类似正态分布的一种对称分布，通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布,t分布临界值t分布的上分位点t (n),t(n),n45, t (n) z Z为标准正

6、态分布上分位点,t1-=-t ,结论1: 设总体X服从正态分布N（，2）, 2未知.(x1,x2,xn)为来自该总体的样本,则统计量,两个重要结论,结论2: 设总体X服从正态分布N（1，2）总体Y服从正态分布N（2，2）( 2 未知),X与Y独立，且X1，X2，Xn1和Y1，Y2，Yn2分别是来自总体X和Y的样本，则统计量,两个重要结论,t-分布(用Excel计算t分布的概率和临界值),利用Excel中的【TDIST】统计函数，可以计算给定值和自由度时分布的概率值 语法：TDIST(x,degrees_freedom,tails) 利用【TINV】函数则可以计算给定概率和自由度时的相应 语法：

7、TINV(probability,degrees_freedom), 用Excel计算t分布的临界值,F分布,为纪念统计学家费希尔(R.A.Fisher) 以其姓氏的第一个字母来命名则 设若U为服从自由度为n1的2分布，即U2(n1)，V为服从自由度为n2的2分布，即V2(n2),且U和V相互独立，则 称F为服从自由度n1和n2的F分布，记为,F-分布(F distribution),不同自由度的F分布,F分布的上分位点F (n1,n2),F(n1,n2),F（n11，n21） 其中s12 和s22 分别是总体X和Y的样本方差。 F分布在假设检验、区间估计、方差分析、回归分析及试验设计等领域有

8、重要的应用,设总体XN（1， 12 ），YN（2，22 ），X与Y独立，且X1，X2， X n l与Y1，Y2，Yn2分别是来自总体X和Y的样本，则统计量,F=,一个重要结论,F-分布(用Excel计算F分布的概率和临街值),利用Excel提供的【FDIST】统计函数，计算分布右单尾的概率值 语法：FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2) 利用【FINV】函数则可以计算给定单尾概率和自由度时的相应 语法： FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2), 用Excel计算F分布的概率,样本均值的

9、分布与中心极限定理,在重复选取容量为n的样本时，由样本均值的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 推断总体均值的理论基础,样本均值的分布,样本均值的分布(例题分析),【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位数N=4。4 个个体分别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4 。总体的均值、方差及分布如下,均值和方差,样本均值的分布 (例题分析), 现从总体中抽取n2的简单随机样本，在重复抽样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为,样本均值的分布 (例题分析), 计算出各样本的均值，如下表。并给出样本均值的抽样分布,样本均值的分布与总体分布的比较 (例题分析), =

10、2.5 2 =1.25,总体分布,样本均值分布,比较及结论：1. 样本均值的均值（数学期望）等于总体均值 2. 样本均值的方差等于总体方差的1/n,样本均值的分布与中心极限定理,当总体服从正态分布N(,2)时，来自该总体的所有容量为n的样本的均值x也服从正态分布，x 的期望值为，方差为2/n。即xN(,2/n),中心极限定理(central limit theorem),从均值为，方差为 2的一个任意总体中抽取容量为n的样本，当n充分大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为、方差为2/n的正态分布,中心极限定理 (central limit theorem),x 的分布趋于正态分布的过程,抽样分

11、布与总体分布的关系,总体分布,正态分布,非正态分布,大样本,小样本,样本均值 正态分布,样本均值 正态分布,样本均值 非正态分布,样本均值的分布（实例）,解：根据中心极限定理，不论总体的分布是什么形状，在假定总体分布不是很偏的情形下，当从总体中随机选取n=36的 样本时，样本均值x的分布近似服从均值x= =10、标 准差 的正态分布，即 N(10，0.12),【例6.4】设从一个均值=10、标准差 =0.6的总体中随机选取容量为n=36的样本。假定该总体不是很偏的，要求: (1)计算样本均值x 小于9.9近似概率。 (2)计算样本均值 x 超过9.9近似概率。 (3)计算样本均值 x 在总体均

12、值=10附近0.1范围内的近似概率。,样本均值的分布（实例）,样本均值的分布（实例）,样 本 比 例 的 分 布,总体(或样本)中具有某种属性的单位与全部单位总数之比 不同性别的人与全部人数之比 合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比 总体比例可表示为 样本比例可表示为,样本比例的分布(proportion),在重复选取容量为n的样本时，由样本比例的所有可能取值形成的相对频数分布 一种理论概率分布 当样本容量很大时，样本比例的抽样分布可用正态分布近似，即,样本比例的分布,样本比例的抽样分布（实例）,解:(1)尽管我们对电瓶的寿命分布形状不甚了解，但根据中心极限定理可以推出50个电瓶的平均寿命

13、的分布近似服从正态分布，其均值,【例6.5】某汽车电瓶商声称其生产的电瓶具有均值为60个月、标准差为6个月的寿命分布。现假设质检部门决定检验该厂的说法是否正确，为此随机抽取了50个该厂生产的电瓶进行寿命检验。 (1假定厂商声称是正确的，试描述50个电瓶的平均寿命的抽样分布。 (2)假定厂商声称正确，则50个样品组成的样本的平均寿命不超过57个月的概率是多少？,样本比例的抽样分布（实例）,(2)如果厂方声称是正确的，则观察到50个电池的平均寿命不超过57个月的概率为:,如果厂方声称是正确的，则观察到50个电池的平均寿命不 超过57个月的概率为0.0002。一个不可能时间。根据小概 率事件原理，观

14、察到的50个电瓶的平均寿命低于57个月的 事件是不可能的；反之如果真的观察到50个电瓶的寿命低 于57个月，则有理由怀疑厂方说法的正确性，即认为厂方 的说法是不正确的。,样本比例抽样分布（实例）,解：已知N(9，22)，根据上述性质10X也服从正态分布，由于,所以,【例6.6】设N(9，22)，试描述10的分布。,样本比例的分布（实例）,解：设600份报表中至少有一处错误的报表所占的比例为 由题意可知：,【例6.7】假定某统计人员在其填写的报表中有2%至少会有一处错误，如果我们检查了一个由600份报表组成的随机样本，其中至少有一处错误的报表所占的比重在0.0250.070之间的概率为多大？,样

15、本比例的分布（实例）,因为,样本比例的分布（实例）,即该统计人员所填写的报告中至少有一处错误的报表所占 的比例在0.0250.070之间的概率为19.02%。,解：因为两个总体均为正态分布，所以8个新生的平均成绩x1 ，x2 分别为正态分布， x1 -x2 也为正态分布，且,两个总体比例之差分布 （实例）,【例6.8】设有甲、乙两所著名高校在某年录取新生时，甲校的平均分为655分，且服从正态分布，标准差为20分；乙校的平均分为625分，也是正态分布，标准差为25分。先从甲、乙两校各随机抽取8名新生计算其平均分数，出现甲校比乙校的平均分低的可能性有多大？,两个总体比例之差的估计（实例）,【例6.

16、9】一项抽样调查表明甲城市的消费者中有15%的人喝过商标为“圣洁”牌的矿泉水，而城市的消费者中只有8%的人喝过该种矿泉水。如果这些数据是真实的，那么当我们分别从甲城市抽取120人，乙城市抽取140人组成两个独立随机样本时，样本比例差 不低于0.08的概率有多大？,解：根据题意,样 本 方 差 的 分 布,样本方差的分布,在重复选取容量为n的样本时，由样本方差的所有可能取值形成的相对频数分布 对于来自正态总体的简单随机样本，则比值 的抽样分布服从自由度为 (n -1) 的2分布，即,统计量的标准误差,统计量的标准误差 (standard error),样本统计量抽样分布的标准差，称为统计量的标准误差 衡量统计量的离散程度，测度了用样本统计量估计总体参数的精确程度 样本均值和样本比例的标准误差分别为,估计的标准误差 (standard error of estimation),当计算标准误时涉及的总体参数未知时，用样本统计量代替计算的标准误差，称为估计的标准误差 以样本均值为例：当总体标准差未知时，可用样本标准差s代替，则在重复抽样条件下，样本均值的估计标准误为,Excel中的统计函数,BINOMDIST计算二项分布的概率 POISSON计算泊松分布的概率 HYPGEOMDIST计算超几何分布的概率 NORMDIST计算正态分布的概率 NORMINV计算正态分布的区间点(临界值)