湖北省蕲春县第一高级中学高中数学选修11课件34生活中的优化问题举例共36

1、1,3.4 生活中的优化问题举例,生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题有时也称为最值问题解决这些问题具有非常重要的现实意义,蕲春一中数学组 夏海军,2,函数单调性与导数的关系,在某个区间（a，b）内，,如果f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增.,如果f(x)0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.,旧知回顾,3,闭区间上连续函数的最值定理,如果函数f(x)在区间 上的图象是连续不断的曲线，则函数在区间 上有最大值和最小值。 最大和最小值在函数极值点和端点处取。,4,新课导入,在过去的学习中，我们一般把优化问题转化为数学中的函数

2、问题,进而转化为求函数的最值问题,导数是求函数最大（小）值的强有力的工具.如何学以致用，利用导数求解优化问题呢？,5,例1 海报版面设计,6,学校或班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小？,x dm,128/xdm,2,2,1,1,7,解：设版心的高为x dm，则版心的宽为128/xdm，此时四周空白面积为,求导数，得,令 解得x=16(x=16舍去). 于是宽为,8,当x(0, 16)时，S (x)0 . 因此，x=16是函数S(x)的极小

3、值点，也是最小值点. 所以，当版心高为16dm，宽为8dm时,能使四周空白面积最小.,令 解得x=16(x=16舍去). 于是宽为,9,例2 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响,10,问题：1.你是否注意过，市场上等量的小包装物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道他的道理吗？ 2.是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？,11,某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料. 瓶子的制造成本是0.8r2分，其中r(单位: cm)是瓶子的半径. 已知每售出1 mL的饮料，制造商可获利0.2分, 且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm. 那么瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大和最小？,12,解：由于瓶子

4、的半径为r，所以每瓶饮料的利润是,令f (r)=0.8 (r2-2r)=0.,当r=2时，f (r)=0； 当r(2,6)时，f(r)0.,13,因此，当半径r2时，f(r)0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高; 当半径r2时，f(r)0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低.,半径为2cm时，利润最小，这时表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润为负. 半径为6cm时，利润最大.,14,我们不用导数工具，直接从函数的图象上观察，你能发现什么？,从图象上容易看出, 当r=3时, f(3)=0,即瓶子的半径是3 cm时, 饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等; 当r3时,

5、利润才为正值.,15,当r(0,2)时, f(r)是减函数, 你能解释它的实际意义吗？,并不是瓶子越小,利润越大.当瓶子半径在（0, 2）之间时,每瓶容量受限,导致售出的饮料量减少,或者人们不想买太小瓶的饮料,而影响利润.,16,例3 磁盘的最大存储量问题,17,计算机把信息存储到磁盘上,磁盘是带有磁性介质的圆盘,并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道,扇区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基本存储单元,根据其磁化与否可分别记录数据0或1,几个基本单元通常称为比特(bit).,知识点,18,现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环

6、形区域.,(1)是不是r越小，磁盘的存储量越大？ (2)r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存在任何信息）.,为保障磁盘分辨率，磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n.磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数.,19,思考1：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域，且最外面的磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道数最多可达多少？,思考2：由于每条磁道上的比特数相同，那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条磁道上的比特数？,最内一条磁道.,20,思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那么最内一条磁道上的比特数为多少？,思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多

7、少比特？,21,思考5：若R为定值，r为变量，那么这张 磁盘的存储量 如何变化？有何最值？,时，存储量最大.,22,思考6：如果每条磁道存储的信息与磁道的长度成正比，那么如何计算磁盘的存储量？此时，是不是r越小，磁盘的存储量越大？,时，存储量最大.,23,设存储区的半径介于r与R之间, 由于磁道之间的宽度必须大于m,且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达到 .又由于每条磁道上的比特数相同, 为获得最大的存储量,最内一条磁道必须装满, 即每条磁道上的比特数可达到 .所以,磁盘总存储 量：,解：存储量=磁道数每磁道的比特数.,24,它是一个关于r的二次函数，从函数的解析式上可以判断，不是

8、r越小，磁盘的存储量越大. 为求f(r)的最大值，计算f(r)=0.,解得：,25,当r0； 当rR/2时，f(r)0. 因此，当r=R/2时，磁盘具有最大存储量，最大存储量为 .,26,这是一个典型的数学建模过程,利用导数解决优化问题的基本思路：,建立数学模型,求解数学模型,作答,温馨提示：用导数解决实际问题，要特别注意在实际问题中变量的取值范围.,解决优化问题的一般步骤：,（1）审题,（2）建模,（3）解模,（4）回归,27,温馨提示：用导数解决实际问题，要特别注意在实际问题中变量的取值范围.,解决优化问题的一般步骤：,（1）审题,（2）建模,（3）解模,（4）回归,28,课堂小结,.仔细

9、读题 实际问题转化为数学模型； 求解数学问题； 数学结果还原到实际问题之中. 一看二列三求四答,解决优化问题的步骤：,29,课堂习题,习题1 从长8cm，宽5cm的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？,8cm,5cm,x,x,30,课堂答案,习题1：解 设剪去的正方形的边长为x cm, 则箱子容积为：,令,得： （舍去）.,31,当0x1时，V0； 当1x2.5时，V0. 所以当x=1时，V最大值=18(cm3). 即剪去的正方形边剪去1 cm时,箱子的容积最大，其最大值是18cm3.,32,敬请指导,33,习题2 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为： （ ），已知甲乙两地相距100千米，当汽车以多大速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？,34,习题2