函数的连续性与间断点

1、.第6次课2学时上次课复习：limsin x1xx 01、两个重要极限x1lim 1 1e,lim 1 x x exxx 02、无穷小的比较本次课题（或教材章节题目）：第九节：函数的连续性和间断点教学要求： 掌握函数在某点连续的定义，理解函数在区间上连续的概念，会求函数的间断点及判别其类型。重点：连续的概念，求间断点难点：求某些函数的间断点及分类教学手段及教具：讲授讲授内容及时间分配 :函数在某点连续的定义25 分钟区间上连续的概念15 分钟函数的间断点及分类15 分钟例题35 分钟课后作业p80-811.2. 3.参考资料.1.9函数的连续性与间断点一、函数的连续性连续性是函数的重要性态之一

2、，在实际问题中普遍存在连续性问题，如气温的变化，物体速度的变化，动植物的生长等。这些现象在函数上的反映，就是函数的连续性问题。1函数的增量一个变量 u由初值 u1变到终值 u2，终值与初值之差称为u 的增量 (或改变量 ) ，记作u,即u=u2u1对于函数 yf (x) ，设它在 x0 及 x0 的某个邻域内有定义，在x0 处给自变量 x 一个增量x，则函数有相应的增量，yy f ( x0 + x)- f ( x0 )（几何解释）例设f ( x)2x21.分别求：1(1) x由变到 1.2 时，（ 2) x 由变到 0.8 时，的增量x和y .解：（略）2函数的连续性如果自变量 x 的增量x

3、很小时，函数 y 的增量 y也很小，则说明函数是随着自变量的渐变而渐变的，这时称函数是连续的。定义 1 ：设 yf (x) 在 x0的某邻域内有定义， 如果当自变量x 在 x0 的增量 x0时，相应函数的增量yf ( x0x)f ( x0 ) 0 ，就称函数 yf ( x) 在 x0 点处连续。注 ： f ( x) 在 x0 点连续limy 0。x0例 2 ：证明函数 f (x) 2x21 在 x=1处连续。证明：函数的定义域为,，在 x=1的邻域内有定义。x :11x，f(x): f(1)f(1+x)y=f(1+x)-f(1)=2 1+x 212*1 214 x2 x2limylim4 x2

4、x20x 0x 0故f (x)2x21在x处连续 1（类似可证该函数在其定义域内的任意一点处都连续。）.xx0x，则当x0时， xx0，这时yf ( x) f ( x0 )根据定义，limy=0可以写作limf ( x)f (x0 )0，即x 0xx0limf (x)f (x0 ).x x0定义 2：设 yf ( x) 在 x0的某邻域内有定义，如果xx0时 f(x)的极限存在，且等于它在 x0 的函数值 , 即 lim f ( x)f (x0 ) ，则称 f(x)在点 x0连续。xx0左（右）连续：若xlimf ( x)f (x00)f (x) ，就称 f ( x) 在 x0点左连续。x0若

5、 limf ( x)f ( x0 0)f (x) ，就称 f ( x) 在 x0点右连续。xx0如果 f (x) 在区间 i上的每一点处都连续， 就称 f ( x) 在 i上连续；并称 f (x) 为 i上的连续函数；若i 包含端点，那么f (x) 在左端点连续是指右连续，在右端点连续是指左连续。连续函数的图像是一条不断开的曲线。定义 1：设 yf ( x) 在 x0 的某邻域内有定义， 若对0,0，当 xx0时，有fxf(x0)，就称f ( x)在x0 点连续。( )定理 ： f ( x) 在 x0 点连续f ( x) 在 x0 点既左连续，又右连续。【例3】多项式函数在 (,) 上是连续的

6、；所以limf ( x)f ( x0 ) ，有理函数在xx0分母不等于零的点处是连续的，即在定义域内是连续的。以上由 1.6 【例 2】的推论1、推论 2 即得。【例 4】不难证明 ysin x, ycos x 在 (,) 上是连续的。【例 5】证明 f (x)x 在 x0 点连续。证明： limxlim(x)0, lim xlimx0 ，又 f (0)0 ，所以由定理x0x 0 0x 0x00f (x)x 在 x0点连续；或由前 1.4 习题 5 知 lim x0f(0) ，所以f ( x)x 在 x0点连续。x0【例 6】讨论函数 yx2x0在 x0的连续性。x2x0解： limylim

7、( x2)022,limylim (x2)02 2 ，x 0 0x 0 0x 0 0x 0 0因为22，所以该函数在x0点不连续，又因为f (0)2 ，所以为右连续函数。二、函数的间断点通俗地说，若f ( x) 在 x0点不连续，就称x0 为 f (x) 的间断点，或不连续点，为方.便起见，在此要求 x0 的任一邻域均含有 f ( x) 的定义域中非 x0 的点。间断点有下列三种情况：（ 1） f ( x) 在 xx0 没有定义；（ 2） lim f (x) 不存在；x x0（ 3）虽然lim()存在，fx在点也有定义，但。xx0fxx0lim f ( x)f ( x0 )x 0几种常见的间断

8、点类型：【例 7】设 f ( x)10, f (x)，即极限不存在， 所以 x0为 f (x) 的2 ，当 x1x间断点。因为 lim，所以 x0为无穷间断点。x0x21【例 8】 ysin在 x0点无定义，且当x0时，函数值在1与1之间无限x次地振荡，而不超于某一定数，见书上图，这种间断点称为振荡间断点。1. f ( x)0xqx均为振荡间断点。1xq1xp2、 f (x)qqxq 不连续， xq 连续。0x0,1或无理数【例 9】 ysin x在 x0sin xx点无定义， 所以 x 0 为其间断点，又 limx1，所f (0)x0x 0以若补充定义1，那么函数在点就连续了。故这种间断点称为可去间断点。【例 10】 例 6的函数在 x0点不连续，但左、右极限均存在，且有不等于f (0)的，这种间断点称为跳跃间断点。例如ysgn x 在 x0处即为跳跃间断点。归纳： (1)limf ( x)， x0为无穷间断点；xx0(2)lim()震荡不存在，为震荡间断点；xx0fxx0limf()af(