正方形的性质.pptx

1、,正方形的定义及性质,射洪中学外国语实验学校,邓建利,2002年世界数学大会会标,图 片 欣 赏,图 片 欣 赏,图 片 欣 赏,图 片 欣 赏,图 片 欣 赏,正方形的定义及性质,射洪中学外国语实验学校,邓建利,1、掌握正方形的定义和性质.,2、经历正方形性质的探究过程.,3、能利用正方形的性质解决问题.,学习目标,回顾思考,矩形,一般,特殊,回顾,如何来给正方形下定义？,矩 形,正方形,邻边,相等,发现：一组邻边相等的矩形叫正方形,一个角,是直角,正方形,发现：一个角为直角的菱形叫正方形,如何来给正方形下定义？,一个角是直角+菱形 =正方形。,一组邻边相等+矩形 =正方形。,45,45,4

2、5,45,45,45,45,45,正方形具有哪些性质?,想一 想,对角线相等 互相垂直平分,四个角都是直角,对边平行，四边都相等。,边,角,对角线,平分一组对角,矩形菱形,对称性,轴对称图形,四条对称轴,中心对称图形,面积,(边长),=对角线平方的一半,小组合作 交流讨论,判断下列命题是否正确？正确的画，错误的画.,1、正方形有四条对称轴.（ ） 2、正方形的两条对角线将其分成4个全等的等腰直角 三角形.（ ） 3、对角线互相垂直的矩形是正方形.（ ） 4、对角线相等的菱形是正方形.（ ） 5、四个角都相等的四边形是正方形. ( ) 6、四条边都相等的四边形是正方形. ( ) 7、对角线垂直且

3、相等的四边形是正方形. ( ) 8、四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形. （ ）,快速抢答！,正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A、四个角相等 B、对角线互相垂直. C、对角互补. D、对角线相等.,2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ） A、四条边相等. B、对角线互相垂直平分. C、对角线平分一组对角. D、对角线相等.,B,D,四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形,平行四边形,矩形,四边形,菱形,正 方 形,概念剖析,探究：四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系,解: 四边形ABCD是正方形.,又ACBD, DOC=90, ABC=90, 且BD平分ABC,

4、 ABD=45,例1：如图，已知正方形ABCD. 求：ABD、DAC、DOC的度数.,典例分析,同理：DAC=45,图中有哪些相等的线段？相等的角？图中有多少个等腰直角三角形？,2,1,3,7,6,5,4,8,等腰直角 三角形,ABD、ABC、BCD、ADC,大等腰直 角三角形,小等腰直 角三角形,AOB、BOC、OCD、AOD,若AB=,BO,AC,正方形的面积和周长？,10,9,11,12,变式：如图，已知正方形ABCD.若AB= 求线段BO、AC的长度及正方形的面积和周长.,典例分析,BO=1,AC=2,典例分析,例2 如图,四边形ABCD是正方形, G是BC上一点，DEAG于点E,BF

5、AG于点F. 求证:（1）ABFDAE；（2）DE=EF+BF,证明：四边形ABCD 是正方形， AB=AD, BAD=90 又 DEAF，BFAF AFB=AED=90 1+3=90 又1+2=90 ABFDAE (AAS),（2）由全等知： DE=AF AE=BF,典例分析,例2 如图,四边形ABCD是正方形, G是BC上一点，DEAG于点E,BFAG于点F. 求证:（1）ABFDAE；（2）DE=EF+BF,1,2,3,3=2,AFB=AED=90,AB=AD,ABF (AAS),DE=AF=AE+EF=EF+BF,分析：,1+3=90,1+2=90,证明：四边形ABCD 是正方形， A

6、B=AD, BAD=90 又 DEAF，BFAF AFB=AED=90 1+3=90 又1+2=90 ABFDAE (AAS),（2）由（1）知： DE=AF,AE=BF 又AF=AE+EF DE=EF+BF,典例分析,例3 如图,以正方形ABCD的一边向外做等边CDE,BE交AC于点M，连结DM. 试说明:（1）求CBE的度数； （2）ABMADM； （3）求DME； （4）图中还有全等的三角形吗？,1,2,典例分析,例3 如图,以正方形ABCD的一边向外做等边CDE,BE交AC于点M，连结DM. 试说明:（1）ABMADM； （2）DME=AMB.,1,2,证明：（1）四边形ABCD 是正

7、方形 AB=AD, 1=2=45 又AM=AM ABMADM（SAS） （2） 由（1）知：AMB=AMD 又CDE是等边三角形 DC=CE，DCE=60 BC=CE,BCE=150,MBC=15 AMC=MBC+ACB=60 即AMD=60 DME=60 DME=AMB.,正方形是特殊的平行四边形， 也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。,?,正方形的性质=,归纳总结,小结反思,如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样才能剪出一个正方形？,只要保证剪口线与折痕成45角即可,做一做,为什么？,作业,（1）复习 （2）导学案上课后作业部分,再见,例 正方形ABCD中，E是BC延长线上一

8、点，且CE=AC, AE交DC于点F,试求E, AFC的度数,解：,四边形ABCD为正方形，,CE=AC,E=CAE,ACB是ACE的一个外角,ACB=E+CAE=2E,AFC是CEF的一个外角,AFC=E+FCE=22.5+90=112.5,E=22.5, AFC=112.5,j,F,E,A,B,D,C,（3）正方形的一条对角线的长度为4,则这个正方形的面积（ ）,（1）边长为2cm 的正方形，对角线的长是_cm,（2）正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O， 问图中有_个等腰直角三角形,8,A.8 B. C. D.16,A,（4）如图，菱形ABCD中，B=60， AB=4，则以AC为边

9、长的正方形ACEF的 周长为（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D.17,例 已知:如图,四边形ABCD与四边形DEFG都是正方形.求证:AE=CG,证明：四边形ABCD和DEFG都是正方形. DA=DC, DE=DG ,ADC=EDG (正方形四条边都相等，四个角都是直角),ADC-ADG=EDG-ADG, 即GDC=EDA,在GDC和EDA中 DC=DA GDC=EDA. DG=DE GDCEDA (SAS) AE=CG (全等三角形的对应边相等）,ADE=ABF=90,典例分析,例2 如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点， 点F是CB的延长线上一点， 且DE=BF求证：（1）

10、AE=AF；（2）EAAF,1,2,3,证明：（1） ABCD是正方形,AD=AB，,在ABF与ADC中,AD=AB ADE=ABF=90 DE=BF ABFADE（SAS）, FA=EA ,（2）由（1）知： 1=3 2+3=90 1+2=90 EAFA,ADE=ABF=90,典例分析,例2 如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点， 点F是CB的延长线上一点， 且DE=BF求证：（1）AE=AF；（2）EAAF,1,2,3,证明：（1） ABCD是正方形,AD=AB，,在ABF与ADC中,AD=AB ADE=ABF=90 DE=BF ABFADE（SAS）, FA=EA ,（2）由（1）知： 1=3 2+3=90 1+2=90 EAFA,变式一,如图，在正方形ABCD中，E、F分别在AB、BC上，且DEAF，求证：DE=AF.,分析 证ADEBAF,3,2,1,变式二,如图，在正方形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且GEAF，求证：GE=AF.,过点D作DMGE交 AB于点M. 四边形DMEG是平行四边形 再证ADMBAF,分析,变式三,如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD上，且GEFH，求证：GE=FH.,过点D作DMGE交 AB于点