A1(第二章第3、4、5节)

1、3 . 高阶导数,函数 f (x) 的导数 f (x) 又称为 f (x) 的一阶导数(导函数),则称其为 y = f (x) 的二阶导数，记为,已知位置函数 s = s(t)，则时刻 t 的速度,仍是 t 的函数，,称为运动的加速度，,a =,二阶导数的导数称为三阶导数，,一般，n 1 阶导数的导数称为 n 阶导数,记作,二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。,例 题,例1：,解：,例2：,解：,例3：,试从,导出,证：,求 n 阶导数方法：,多次接连地求导数，直至找到规律。,例：,求下列函数的 n 阶导数：,显然 y(n+1) = 0 .,n 次多项式的一切高于 n 阶的导数均为 0 .,解：

2、,一般：,解：,特别，当 a = e 时，,解：,解：,解：,解：,同理，,解：,解：,若 u(x), v(x) 在点 x 处都具有 n 阶导数，,则有：, 莱布尼兹公式,莱布尼兹 (1646 1716),德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.,他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计,数法,并把它与中国的八卦联系起来.,例：,解：,00年考研题,例：,解：,很难再处理下去!,现利用著名的欧拉公式,换一种方法求解.,例：,现利用著名的欧拉公式,换一种方法求解.,注: 这一结论也可由数

3、学归纳法求得.,课 外 作 业,习题 2 3(A),1(2, 6),习题 2 3(B),1(3, 6, 10), 2(3), 3, 7,4. 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数,一、隐函数的导数,如果在方程 F(x, y) = 0 中, 当 x 在某区间内取 任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的 y 值存 在,那么就说方程F(x, y) = 0在这区间内确定了一个 隐函数。, 显函数, 隐函数,把一个隐函数化成显函数的过程，叫做隐 函数的显化。,对 y 5 + 2y - x = 0,必存在 y = f (x),对隐函数的求导方法：, 方程两边同时对 x 求导；, 方程中函数( 如

4、y ) 看成中间变量。,在第十章中将会说明，,但因无法解出 y 而不能显化。,例 题,例1：,解：,方程两边同时对 x 求导 ：,例2：,求由方程 x ln y + e x + y = e 所确定的隐函数 y = f (x) 在 x = 0 处的切线方程与法线方程。,解：,方程两边对 x 求导, 得,解：,在 x = 0 处的切线方程：,即点 (0,1) 处,法线方程：,例2：,求由方程 x ln y + e x + y = e 所确定的隐函数 y = f (x) 在 x = 0 处的切线方程与法线方程。,例3：,解：,方程两边对 x 求导 ：,在(*)两边再对 x 求导：,(*),对数求导法

5、,1.对因式的积商求导,例：,解：,两边取对数：,两边对x求导：,2.对幂指函数 y = u(x)v (x) 求导,例1：,解一：,利用复合函数求导法则，,解二：,两边取对数：,利用对数求导法,两边求导数：,例2：,解：,两边取对数：,两边再取对数：,两边求导数：,例3：,解：,两边取对数：,两边对 y 求导：,二、由参数方程所确定的函数的导数,其中：,例 题,例1：,解：,例2：,切线方程与法线方程。,解：,三、相关变化率,设函数 x = x( t ), y = y( t ) 均可导，,这种相互依赖的变化率称为相关变化率。,从其中一个变化率可求出另一个变化率。,而变量 x 与 y 间存在某种

6、关系, 从而变化率,方法,1.建立变量 x 与 y 的等量关系；,2.关系式中 x , y 都对第三个变量 t 求导；,3.从一个已知变化率求另一相关变化率。,设在 t 时刻容器中的水深 为 h，水的体积为 V，,例：注水入深8米、上顶直径8米的正圆锥形容器 中，其速率为每分钟4立方米。 当水深为5米时，其表面上升的速率为多少？,解：,r,h,两边对 t 求导，得：,当 h = 5 时，,代入上式，得：,课 外 作 业,习题 2 4(A),1(3, 5), 3, 4(4, 6),习题 2 4(B),1(2), 2, 3(2, 3), 5, 11,5. 函数的微分,对y = f (x) , 当

7、x 有增量,的函数，,再如：y = x 4,要找简单的便于计算的y 的近似表达式。,一、微分的定义,如：y = cos x ,1. 引例,一块边长为 x0 的正方形金属薄片，受热膨胀 后边长为 x0 + x , 求薄片面积的改变量。,x0,x0,x02,x0 + x,x,x,x2,正方形面积：,面积改变量：,对满足一定条件的函数 y = f (x)， 当自变量在点 x 处有增量 x 时，我们的目标是寻求函数的增量 y 关于 x 的一次近似式，且使近似的误差是 x 的高阶无穷小。,2. 微分的定义,其中A是不依赖于x的常数,则称 y = f (x) 在点 x0 是可微的, 且,微分。,记作 dy

8、 , 即 dy = Ax .,3.函数可微的条件,定理：,函数 f (x) 在点 x0 处可微,函数 f (x) 在点 x0 处可导,证：, f (x) 在点 x0 处可微，,f (x) 在点 x0 处可导。,说明：,变量 x 的一个任意增量, 且与 x 无关。,所以 f (x) 可微。,是自,称 dy 为 y 的线性主部 (当x 0).,(4) 为统一起见, 也称x为自变量 x 的微分,记作 dx , 即 x = dx ,在 x0 处的微分,(5) f (x) 在任意点处的微分称为函数的微分,又称为 “微商”。,例 题,例1：,解：,= 0 ；,(1),(2),例2：,例3：,解：,解：,M

9、,N,f (x),dy,x,微分是函数的局部线性化,用切线增量近似曲线增量,dy,dy =,在图上是哪条线段？,= tan x,二、微分的几何意义,y,三、基本初等函数的微分公式与微分运 算法则,1. 基本初等函数的微分公式,参见教材第 147 页。,2. 微分的四则运算法则,设 u(x), v(x) 可微，则,(C:常数),3. 复合函数的微分法则,无论变量 u 是自变量还是中间变量，其微 分形式都保持不变，微分的这种性质称为一阶 微分形式的不变性。,例1：,例2：,填空：,解：,例3：求下列函数的微分,解：,= 0,四、 微分在近似计算中的应用,在实际工作中，测量或计算数据时，常常要求用比较简单的计算方法得到一定精度的计算结果，这就提出了近似计算问题。,这里我们介绍一种利用微