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1、高二数学 选修 2-2 第二章 推理与证明,2020/9/22,孝高 蒋志方,1,2.2 直接证明与间接证明,2.2.1 综合法和分析法,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.,数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.,复习,合情推理得到的结论是不可靠的，需要证明。数学中证明的方法有哪些呢？,例:已知a0,b0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc,因为b2+c2 2bc,a0 所以a(b2+c2)2abc.,又因为c2+b2 2bc,b0 所以b(c2+a2) 2abc.,因此a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc.,证明:,在数学证明中，我们经常从已知条件和某

2、些数学定义、定理、公理、性质等出发通过推理导出所要的结论。,.综合法,由因导果,从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运 算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证 明的结论成立. (又称顺推证法),注：用P表示已知条件,已有的定义,定理,公理等.Q表示所要证明的结论,则综合法可用框图表示为:,例：求证不等式：,.,注：从求证的结论出发，逐步寻求使结论成立的条件。,2.分析法,从证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知,定理,定义,公理等).这种证明的方法叫做分析法. （又称倒推证法）,执果索因,注：用Q表示所要证明的结论,则

3、分析法可用框图表示为:,得到一个明显 成立的条件,证法1:对于正数a,b, 有,综合法,分析法,表达简洁!,目的性强,易于探索!,【分析法】,从结论出发，寻找结论成立的充分条件 直至最后，把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件。,要证： 只要证： 只需证： 显然成立 上述各步均可逆 所以 结论成立,格 式,解:要证,只需证,展开,只需证,只需证 2125,因为 2125成立,所以 成立.,例3：在中，三个内角、对应的边分别为a、b、c，且、成等差数列，a、b、c成等比数列，求证为等边三角形,分析：把题中的文字语言转化为符号语言：A+C=2B，b2 =ac,由（1）联想到内角各能得到什么？,由（2）联想到三角形什么知识？余弦定理，二者联系起来能得到什么结论,证明：,由A，B，C成等差数列，有,2B=A+C ,由，得,由啊，a，b，c成等比数列，有,由余弦定理及，可得,再由，得,因此，a=c,从而有 A=C,由，得,上述过程可用框图表示:,直接证明(回顾小结),分析法 解题方向比较明确， 利于寻找解题思路； 综合法 条理清晰，易于表述。,通常以分析法寻求 思路，再用综合法有条理地 表述解题过程,分析法 综合法,概念,直接证明（综合法和分析法）,上述两种证法有什么异同？,都是直接证明

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