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1、第七章 微分方程习题课（一）,高阶微分方程,微分方程解题思路,一阶方程,高阶方程,分离变量法,齐次方程,常数变易法,特征方程法,待定系数法,非变量可分离,降阶,作变换,作变换,积分因子,1、基本概念,微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶,微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解,通解如果微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解,初始条件用来确定任意常数的条件.,初值问题求

2、微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,2、一阶微分方程的解法,(2) 齐次方程,解法,作变量代换,(3) 一阶线性微分方程,上方程称为齐次的,上方程称为非齐次的.,齐次方程的通解为,（使用分离变量法）,解法,非齐次微分方程的通解为,（常数变易法）,3、可降阶的高阶微分方程的解法,解法,特点,型,接连积分n次，得通解,型,解法,代入原方程, 得,特点,型,解法,代入原方程, 得,、线性微分方程解的结构,（1）二阶齐次方程解的结构:,（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:,、二阶常系数齐次线性方程解法,n阶常系数线性微分方程,二阶常系数齐次线性方

3、程,二阶常系数非齐次线性方程,解法,由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.,特征方程为,、二阶常系数非齐次线性微分方程解法,二阶常系数非齐次线性方程,解法待定系数法.,是 与同次的多项式.,练习题:,(题3只考虑方法及步骤),P353 题2 求以,为通解的微分方程.,提示:,消去 C 得,P353 题3 求下列微分方程的通解:,提示: 令 u = x y ,P353 题1，2，3 (1), (2), (3), (6), (10),化成可分离变量方程 :,提示: 这是一阶线性方程 , 其中,提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程,公式,公式,提示: 为可降阶方程 ,

4、令,原方程化为, 即,则,故原方程通解,提示: 令,练习题: P353 题 2 (2); 3 (7) ; 4 (2)；,解答提示,P353 题2 (2) 求以,为通解的微分方程 .,提示: 由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若 (7) 中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化 ?,P353 题3 求下列微分方程的通解,P354 题4(2) 求解,提示: 令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时正负号如何确定?,分析：此等式中含有积分上限函数，因此想到利用积分,P348,6.设函数,连续，且满足,，求,上限函数的性质，求导可建立微分方程，从而求解。,解：等式

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