考前三个月高考数学全国甲卷通用理科知识课件方法篇专题6立体几何与空间向量第27练

1、专题6立体几何与空间向量,第 27 练完美破解立体几何的 证明问题,立体几何证明题是高考必考题，证明平行、垂直关系是主要题型，特别是垂直关系尤为重要.掌握判定定理、性质定理并能灵活运用是解题的根本.学会分析推理的方法和证明技巧是提升推理能力的关键，在二轮复习中，通过专题训练，使解立体几何证明的能力更上一层楼，确保该类题型不失分.,题型分析 高考展望,体验高考,高考必会题型,高考题型精练,栏目索引,1.(2015福建)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,体验高考,解析,1,2,3

2、,4,5,解析m垂直于平面，当l时，也满足lm，但直线l与平面不平行， 充分性不成立， 反之，l，一定有lm，必要性成立.故选B.,2.(2016山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析,1,2,3,4,5,解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交； 若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.,证明由已知得ACBD，ADCD，,1,2,3,4,5,3.(2016课标全国甲)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分

3、别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置. (1)证明：ACHD；,解析答案,故ACEF，由此得EFHD， 折后EF与HD保持垂直关系，即EFHD， 所以ACHD.,1,2,3,4,5,解析答案,1,2,3,4,5,所以OH1，DHDH3，,解析答案,故ODOH. 由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH， 所以AC平面BHD，于是ACOD， 又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.,1,2,3,4,5,(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；,解析答案,1,2,3,4,5,解取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的

4、一个点，理由如下：,1,2,3,4,5,所以BCAM，且BCAM. 所以四边形AMCB是平行四边形，所以CMAB. 又AB平面PAB，CM平面PAB. 所以CM平面PAB. (说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点),(2)证明：平面PAB平面PBD.,解析答案,1,2,3,4,5,证明由已知，PAAB，PACD.,所以PA平面ABCD，所以PABD.,所以BCMD，且BCMD. 所以四边形BCDM是平行四边形，,又ABAPA，所以BD平面PAB. 又BD平面PBD， 所以平面PAB平面PBD.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.(2016课标全国丙)如图，四棱锥

5、PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点. (1)证明：MN平面PAB；,解析答案,1,2,3,4,5,如图，取BP的中点T，连接AT，TN，,又ADBC，故TN綊AM， 所以四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT. 因为AT平面PAB，MN平面PAB， 所以MN平面PAB.,返回,(2)求四面体NBCM的体积.,解因为PA平面ABCD，N为PC的中点，,如图，取BC的中点E，连接AE.,解析答案,1,2,3,4,5,高考必会题型,题型一空间中的平行问题 例1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中

6、点，E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证： (1)直线EG平面BDD1B1；,解析答案,证明如图，连接SB， E、G分别是BC、SC的中点， EGSB. 又SB平面BDD1B1， EG平面BDD1B1， 直线EG平面BDD1B1.,解析答案,点评,(2)平面EFG平面BDD1B1.,证明连接SD， F、G分别是DC、SC的中点， FGSD. 又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1， FG平面BDD1B1，由(1)知， EG平面BDD1B1， 且EG平面EFG， FG平面EFG，EGFGG， 平面EFG平面BDD1B1.,证明平行关系的方法 (1)证明线线平行的常用方法： 利用平行

7、公理，即证明两直线同时和第三条直线平行； 利用平行四边形进行转换； 利用三角形中位线定理证明； 利用线面平行、面面平行的性质定理证明. (2)证明线面平行的常用方法： 利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证明线线平行； 利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证明面面平行.,点评,点评,(3)证明面面平行的方法： 证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行.,求证：(1)EF平面A1B1BA；,证明如图，连接A1B， 在A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点， 所以EFBA1. 又

8、因为EF平面A1B1BA，BA1平面A1B1BA， 所以EF平面A1B1BA.,解析答案,解析答案,(2)平面AEA1平面BCB1.,证明因为ABAC，E为BC中点，所以AEBC， 因为AA1平面ABC，BB1AA1， 所以BB1平面ABC，从而BB1AE. 又因为BCBB1B，所以AE平面BCB1， 又因为AE平面AEA1，所以平面AEA1平面BCB1.,解析答案,题型二空间中的垂直问题 例2如图所示，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点. 求证：(1)AF平面BCE；,证明如图，取CE的中点G，连接FG，BG.,AB平面ACD，DE平面AC

9、D， ABDE，GFAB.,四边形GFAB为平行四边形，AFBG. AF平面BCE，BG平面BCE， AF平面BCE.,点评,解析答案,(2)平面BCE平面CDE.,证明ACD为等边三角形，F为CD的中点， AFCD. DE平面ACD，AF平面ACD，DEAF. 又CDDED，故AF平面CDE. BGAF，BG平面CDE. BG平面BCE，平面BCE平面CDE.,(1)证明线面垂直的常用方法： 利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直； 利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证明面面垂直； 利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (

10、2)证明面面垂直的方法： 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线来解决.,点评,变式训练2(2016北京)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC. (1)求证：DC平面PAC；,证明PC平面ABCD，DC平面ABCD， PCDC. 又ACDC，PCACC，PC平面PAC，AC平面PAC， DC平面PAC.,解析答案,(2)求证：平面PAB平面PAC；,证明ABCD，CD平面PAC， AB平面PAC，又AB平面PAB， 平面PAB

11、平面PAC.,解析答案,(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由.,解棱PB上存在点F，使得PA平面CEF. 证明如下： 取PB的中点F，连接EF，CE，CF， 又E为AB的中点， EF为PAB的中位线， EFPA. 又PA平面CEF，EF平面CEF， PA平面CEF.,解析答案,题型三空间中的平行、垂直综合问题 例3(2015山东)如图，三棱台DEFABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点. (1)求证：BD平面FGH；,解析答案,证明方法一如图，连接DG，设CDGFM，连接MH. 在三棱台DEFABC中， AB2DE，G为AC的中点， 可得D

12、FGC，DFGC， 所以四边形DFCG为平行四边形. 则M为CD的中点， 又H为BC的中点， 所以HMBD，又HM平面FGH，BD平面FGH， 所以BD平面FGH.,解析答案,方法二在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点， 可得BHEF，BHEF， 所以四边形HBEF为平行四边形， 可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点， H为BC的中点，所以GHAB. 又GHHFH，ABBEB， 所以平面FGH平面ABED. 又因为BD平面ABED， 所以BD平面FGH.,证明连接HE， 因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB. 由ABBC，得GHBC. 又H为BC的中点，所以EFH

13、C，EFHC， 因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE. 又CFBC，所以HEBC. 又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH. 又BC平面BCD， 所以平面BCD平面EGH.,解析答案,点评,(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.,(1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线.要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得. (2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用. (3)平行关系往往用到三角形的中位线，垂直关系往往用到三角形的高线

14、、中线.,点评,解析答案,变式训练3(2015北京)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC 2 ，O，M分别为AB，VA的中点. (1)求证：VB平面MOC；,证明因为O，M分别为AB，VA的中点， 所以OMVB，又因为VB平面MOC， 所以VB平面MOC.,解析答案,(2)求证：平面MOC平面VAB；,证明因为ACBC，O为AB的中点， 所以OCAB. 又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC， 所以OC平面VAB.又OC平面MOC， 所以平面MOC平面VAB.,返回,(3)求三棱锥VABC的体积.,所以AB2，OC1，,解析答案,又因为O

15、C平面VAB.,又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，,1.(2016浙江)已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则() A.ml B.mn C.nl D.mn,高考题型精练,1,2,3,4,5,解析,6,7,8,9,10,11,12,解析由已知，l，l， 又n，nl，C正确.故选C.,解析,2.(2015安徽)已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，则下列命题正确的是() A.若，垂直于同一平面，则与平行 B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C.若，不平行，则在内不存在与平行的直线 D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面,1,2,3,4,5

16、,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析对于A，垂直于同一平面，关系不确定，故A错； 对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错； 对于C，不平行，但内能找出平行于的直线，如中平行于，交线的直线平行于，故C错； 对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则mn，其逆否命题即为D选项，故D正确.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,3.已知，是两个不同的平面，给出下列四个条件： 存在一条直线a，a，a；存在一个平面，；存在两条平行直线a，b，a，b，a，b；存在两条异面直线a，b，a，b，a，

17、b，可以推出的是() A. B. C. D.,解析对于，平面与还可以相交； 对于，当ab时，不一定能推出， 所以是错误的，易知正确，故选C.,4.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，ACEFG.现在沿AE，EF，FA把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则在四面体PAEF中必有() A.APPEF所在平面B.AGPEF所在平面 C.EPAEF所在平面D.PGAEF所在平面,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析在折叠过程中，ABBE，ADDF保持不变.,5.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P，Q分

18、别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论： A1CMN；A1C平面MNPQ；A1C与PM相交；NC与PM异面.其中不正确的结论是() A. B. C. D.,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析作出过M，N，P，Q四点的截面交C1D1于点S，交AB于点R，如图所示中的六边形MNSPQR， 显然点A1，C分别位于这个平面的两侧， 故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能平行，故结论不正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,6.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点

19、，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是() A. B. C. D.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析中易知NPAA，MNAB， 平面MNP平面AAB可得 出AB平面MNP(如图). 中，NPAB， 能得出AB平面MNP.,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,7.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为_.,解析连接BD，设BDACO， 连接EO，在BDD1中，O为BD的中点， 所以EO为BDD1的中位线， 则BD1EO，而BD1平面ACE，EO平面ACE， 所以

20、BD1平面ACE.,平行,8.如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则下列结论中： PBAE；平面ABC平面PBC；直线BC平面PAE；PDA45. 其中正确的有_(把所有正确的序号都填上).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析,解析由PA平面ABC，AE平面ABC，得PAAE， 又由正六边形的性质得AEAB，PAABA，得AE平面PAB， 又PB平面PAB，AEPB，正确； 平面PAD平面ABC， 平面ABC平面PBC不成立，错； 由正六边形的性质得BCAD， 又AD平面PAD，BC平面PAD，BC平面PAD， 直线BC平面PAE

21、也不成立，错； 在RtPAD中，PAAD2AB， PDA45，正确.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析AO平面BB1C1C，AOB1C， 又平面BB1C1C为菱形， B1CBO， B1C平面ABO， AB平面ABO，B1CAB.,9.如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO平面BB1C1C，则B1C与AB的位置关系为_.,异面垂直,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,10.(2016课标全国甲)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题： 如果mn，m，n，那么. 如果m，n，那么mn. 如果，m，那么m. 如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的编号),解析当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误， 经判断知均正确，故正确答案为.,解析,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,11.(2015江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E. 求证：(1)DE平面AA1C1C；,证明由题意知，