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1、第2章 平面向量,2.4 向量的数量积,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角,引入:,功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定。这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？,1、向量的夹角的概念,两个非零向量 和 ，作 ，,与 反向,与 同向,则 叫做向量 和 的夹角,记作,与 垂直，,注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的,表示数量而不表示向量,与、 不同, 它们表示向量；,在运用数量积公式解题时,一定要注意向量 夹角的取值范围是,（1）,（2）,（3）,2、数量积

2、的概念,（4）这是一种新的运算法则，以前所学的运算律、 性质不适合,练习已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 ， 求a b.,3、向量数量积的性质,练习3、判断下列命题是否正确,(),(),(),(),运算律和运算紧密相连。引入向量数量积后，自然要看一看它满足怎样的运算律。看看向量数量积能否满足下面的运算律？,已知向量 和实数 ，则向量的数量积满足：,（不一定成立）,4、向量数量积的运算律,（3）,证明：在平面内取一点 ，作 , ，,（即 ）在 方向上的投影等于,在 方向上的投影的和，,即,即,四、总结：,学习了平面向量数量积性质的应用，常见的题型主要有：,1、直接计算数量积（定义式以

3、及夹角的定义）,2、由数量积求向量的模,4、运用数量积的性质判定两向量是否垂直,3、由数量积确定两向量的夹角,5、判断三角形的形状,几何意义,当 时,当 时,当 时,参考答案：1；1；0；0.,平面向量数量积的坐标表示,问题2：推导出 的坐标公式.,答案：,问题3：写出向量夹角公式的坐标表示式，向量 平行和垂直的坐标表示式.,说明：这里式子中向量都是非零向量,例题分析,例1：,例2：已知A（1, 2）,B（2,3）,C（2,5）,求证 ABC是直角三角形.,想一想：还有其他证明方法吗？,提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。,例3：求与向量 的夹角为45o的 单位向量.,说明：可设 进行求解.,，,，,，,，,综上，所求k的值为 或 或,演练

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