圆综合的八大模型

1、.,圆综合的八大模型,.,圆的证明与计算专题训练,圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：求线段长（或面积）；求线段比；求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。,.,模型一：从圆外作圆的两条切线问题,【例1】（2012襄阳）如图，PB为O的切线，B为切点，直线PO交于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交O于点A，延长AO与O交于点C，连接BC，AF （1）求证：直线PA为O的切线； （2）试探究线段EF、OD、O

2、P之间的等量关系，并加以证明； （3）若BC=6，tanF= ，求cosACB的值和线段PE的长,.,【练习1】（2011广安）如图所示，P是O外一点，PA是O的切线，A是切点，B是O 上一点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q （1）求证：PB是O的切线； （2）求证：AQPQ=OQBQ； （3）设AOQ=，若 ，OQ=15，求AB的长,.,【练习2】（2013年全国初中数学联合竞赛试题本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交于点P，连AC，若 ，求 的值。,.,模型二：从圆外作圆的一条切线和一条割线含垂直问题,【例2】如图，

3、AB为O的直径，半径OCAB，D为AB延长线上一点，过D作O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F. （1）求证：DE=DF； （2）连结AE，若OF =1，BF =3，求 的值. 【解决问题的思维方法是】,.,【练习1】（2011四川乐山24，10分）如图，D为 O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CDA=CBD. (1)求证:CD是O的切线; (2)过点B作 O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,tanCDA= ,求BE的长,.,【练习2】如图，AB为O的直径，C、D为O上的两点，D是弧AC的中点，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足. （1）求证：EF为O的切线； （2）

4、若AC=6，BD=5，求sinE的值.,.,模型三：过直径的端点作圆的两条切线问题,【例3】（2011山东潍坊，23，11分）如图，AB是半圆O的直径，AB=2.射线AM、BN为半圆的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点做半圆的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q. （1）求证：ABCOFB； （2）当ABD与BFO的面积相等时，求BQ的长； （3）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点.【解决问题的思维方法是】,.,【练习1】（2011四川绵阳22，12）如图，在梯形ABCD中，AB/CD

5、，BAD=90，以AD为直径的半圆O与BC相切. (1)求证：OB丄OC; (2)若AD= 12， BCD=60，O1与半O 外切，并与BC、CD 相切，求O1的面积.,.,【练习2】如图，AB是O的直径，BCAB，过点C作O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD. （1）求证：AD是O的切线； （2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.,.,模型四：以等腰三角形的一腰为直径作圆的问题,【例4】如图，ABC中，ABAC，以AC为直径的O与AB相交于点E，点F是BE的中点 （1）求证：DF是O的切线 （2）若AE14，BC12，求BF的长 【解决问题

6、的思维方法是】,.,【练习1】（2011贵州安顺，26，12分）已知：如图，在ABC中，BC=AC，以BC为直径的O与边AB相交于点D，DEAC，垂足为点E 求证：点D是AB的中点； 判断DE与O的位置关系，并证明你的结论； 若O的直径为18，cosB = ，求DE的长,.,【练习2】（2012肇庆）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P求证： （1）D是BC的中点； （2）BECADC； （3）ABCE=2DPAD,.,【练习3】如图，等腰ABC中，AB=AC，以AB为直径作 O交BC于点D，DEAC于E. （1）求证：DE为O的切线

7、； （2）若BC= ，AE=1，求 的值.,.,模型五：过直径的端点作一条或两条垂线于圆的切线问题,【例5】（2012西宁）如图（1），AB为O的直径，C为O上一点，若直线CD与O相切于点C，ADCD，垂足为D （1）求证：ADCACB； （2）如果把直线CD向下平行移动，如图（2），直线CD交O于C、G两点，若题目中的其他条件不变，且AG=4，BG=3，求tanDAC的值,.,【练习1】（2011安徽芜湖，23，12分）如图，已知直线 交O于A、B两点，AE是O的直径,点C为O上一点，且AC平分PAE，过C作 ，垂足为D. (1) 求证：CD为O的切线； (2) 若DC+DA=6，O的直径为

8、10，求AB的长度.,.,【练习2】直角梯形ABCD中，BCD=90，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F. 求证：CD为O的切线 若 ，求 的值,.,模型六：和切线平行的弦的问题,【例6】（2011浙江义乌，21，8分）如图，已知O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E. O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F，且AD=3，cosBCD= （1）求证：CDBF； （2）求O的半径； （3）求弦CD的长.,.,【练习】（2011山东菏泽，18，10分）如图，BD为O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=2，ED=4， 求证：（1）ABEADB； (2)求AB的长

9、； (3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与O的位置关系，并说明理由,.,模型七：过弧的中点的半径垂直于弦的问题,【例7】ABP中，ABP=90，以AB为直径作O交AP于C点，弧 = ，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D. （1）求证：CD为O的切线； （2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求 的值。,.,【练习1】如图，AB是O上的直径，E是弧BC的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F. ADO=B. （1）求证：CF为O的切线； （2）求sinBAD 的值.,.,【练习2】(2009调考）：如图，已知ABC中，以

10、边BC为直径的O与边AB交于点D，点E是弧BD的中点，AF为ABC的角平分线，且AFEC。 （1）求证：AC与O相切； （2）若AC6，BC8，求EC的长,.,模型八：综合性的问题,【例8】（2012十堰）如图1，O是ABC的外接圆，AB是直径，ODAC，且CBD=BAC，OD交O于点E （1）求证：BD是O的切线； （2）若点E为线段OD的中点，证明：以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形； （3）作CFAB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求 的值,.,【练习1】（2011桂林）如图，在锐角ABC中，AC是最短边；以AC中点O为圆心， AC长为半径作O，交BC于E，过O作ODBC交O于D，连接AE、AD、DC （1）求证：D是弧AE 的中点； （2）求证：DAO=B+BAD； （3）若 ，且AC=