结构力学：第六章《结构位移计算》PPT课件.ppt

1、1,第六章 结构位移计算,2,A,结构位移计算,第六章 结构位移计算,61 概述,62 变形体系的虚功原理,63 位移计算的一般公式,64 静定结构在荷载作用下的位移计算,65 图乘法,66 静定结构温度变化时的位移计算,67 静定结构支座移动时的位移计算,68 线弹性结构的互等定理,3,61 概 述,1. 变形和位移,在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。,变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。,2. 位移的分类,A,P,A,A,线位移：,角位移：,A,(A),Ay,Ax,Ay,Ax,A,绝对位移,相对位移,P,A,B,C,D,C,D,C,D,CD= C+ D,结构位移计

2、算,返 回,C,D,4,3. 计算位移的目的,（1）校核结构的刚度。 （2）结构施工的需要。,除荷载外，还有一些因素如温度变化、支座移动、 材料收缩、制造误差等，也会使结构产生位移。,结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原理为 基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然后讨论 静定结构的位移计算。,（3）为分析超静定结构打 基础。,起拱高度,结构位移计算,返 回,5,62 变形体系的虚功原理,1. 功、实功与虚功,A,dW=P,w=,（a）,（1）功,P,dS,S,B,dS,Cos,dW,=,P,Cos,dS,结构位移计算,返 回,6,常力功,W=,(b),变力功,由AB,W=,（c）,力偶功,

3、P,P,A,B,（d）,d,P,A,B,常力 W=,变力 W=,P,Cos,2,1,P,Cos,M ,2,1,M ,力由0P,M=Pd,结构位移计算,返 回,7,（2）实功与虚功,实功：,A,B,P1,1,虚功：,W=,A,B,P2,2,力在其它 因素引起的位移上所作 的功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系 的两种彼此无关的状态。,例如：,例如：,W12=P12,力在本身引起的位移上所作的功。,1,2,结构位移计算,返 回,8,2. 变形体的虚功原理： 变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小 虚位移，外力所作的虚功总和等于此变形体各微段 上内力所作的变形虚功总和。（证明从略）即,W外

4、=W内,或写成,W=Wi （61）,式(61）称为虚功方程，式中,W,Wi,外力虚功,内力虚功,结构位移计算,返 回,9,A,B,力状态,P,q,M,dS,内力虚功的计算,给定力状态,RA,RB,给定位移状态,位移状态,dWi=Ndu+QdS+Md,Wi=,微段dS上内力的变形虚功为,整个结构内力的变形虚功为,（62),虚功方程为,W=,（63),q,N,N+dN,Q,Q+dQ,M,M+dM,dS,ds,dS,du,dS,dx,d,dS,A,B,结构位移计算,返 回,10,1. 位移计算的一般公式,设平面杆系结构由 于荷载、温度变化及支 座移动等因素引起位移 如图示。,P2,P1,K,k,k,

5、K,K,利用虚功原理计算,c1,c2,c3,k,k,PK=1,实际状态位移状态,c1、c2、c3、K du、d、ds,ds,虚拟状态力状态,ds,K,外力虚功,W=,=,内力虚功,Wi=,可得,求任一指定截面K 沿任一指定方向 kk 上的位移K 。,(75),t1,t2,(64),这便是平面杆系结构位移计算的一般公式，若计算结 果为正，所求位移K与假设的 PK=1同向，反之反向。 这种方法又称为单位荷载法。,结构位移计算,63 位移计算的一般公式 单位荷载法,返 回,11,2. 虚拟状态的设置,在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设 置相应的虚拟力状态。,例如:,A,求AH,实际状态,虚

6、拟状态,A,1,A,求A,1,虚拟状态,A,A,虚拟状态,虚拟状态,B,求AB,1,1,B,求AB,1,1,广义力与 广义位移,结构位移计算,返 回,12,64 静定结构在荷载作用下的位移计算,当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移KP，此时没有支座位移，故式（64）为,KP=,式中：,为虚拟状态中微段上的内力；dP、duP、 Pds为实际状态中微段上的变形。由材料力学知,（a）,dP=,duP=,Pds=,将以上诸式代入式（a）得,KP=,（65）,这就是平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式。,结构位移计算,返 回,13,讨 论,1. 梁和刚架,KP=,（66）,2.桁架,KP=

7、,（67）,3. 组合结构,KP=,（68）,在实际计算时，根据结构的具体情况,式（65） 可以简化：,结构位移计算,返 回,14,例 61 求图示刚架A点 的 竖 向位移Ay。E、A、I为常数。,A,B,C,q,L,L,A,实际状态,虚拟状态,A,B,C,1,解：,1. 设置虚拟状态,x,x,选取坐标如图。,则各杆弯矩方程为:,AB段：,x,BC段：,2. 实际状态中各杆弯矩方程为,AB段：,BC段：,MP=,MP=,x,x,3. 代入公式（66）得,Ay=,，,(),=,(-x)(-,2,qx,2,),EI,dx,+,(-L),(-,2,qL,2,),EI,dx,结构位移计算,返 回,15

8、,65 图 乘 法,KP=,当结构符合下述条件时：,（1）杆轴为直线； （2）EI=常数；,上述 积分可以得到简化。,MP图,和M两个弯矩图 中至少有一个是直线图形。,（3）,x,y,面积 ,设等截面直杆AB段的两个弯矩图中，,为一段直线，MP图为任意,形状，,A,B,O,则上式中的ds可用dx代替。,A,B,MP,dx,故有,=xtg,且tg=常数，则,d=MPdx,x,EI,tg,xMPdx =,EI,tg,xd,结构位移计算,1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分,返 回,16,MP图,x,y,形心,C,面积 ,A,B,O,A,B,MP,dx,d=MPdx,x

9、,xC,有,yC,yC=xCtg,则积分运算化简为 一个弯矩图的面积乘 以其形心处所对应的另 一个直线弯矩图上的竖 标 yC。,如果结构上所有各 杆段均可图乘则位移计 算公式（66）可写成,KP=,(69),而,EI,xd,tg,EI,xC,tg,EI,yC,EI,yC,结构位移计算,返 回,17,2. 图乘法的注意事项,（1）必须符合上述三个前提条件； （2）竖标yC只能取自直线图形； （3）与yC若在杆件同侧则乘积取正号，反之取负号。,3. 常用的几种简单图形的面积和形心,L,h,2L/3,L/3,L,h,a,b,（L+a)/3,(L+b)/3,形心,形心,结构位移计算,返 回,18,L,

10、h,二次抛物线,顶点,L/2,二次抛物线,L,h,4L/5,L/5,3L/8,5L/8,1,2,1=2/3(hL),2=1/3(hL),顶点,结构位移计算,返 回,19,4 .图乘的技巧,当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单 图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。,例如：,MP图,a,b,c,d,L,则,ya=2/3c+1/3d yb=1/3c+2/3d,MP图,a,b,c,d,ya,yb,此时,ya=2/3c1/3d yb=2/3d1/3c,yb,ya,结构位移计算,返 回,20,MA,QA,MA,QB,MB,MB,对于在均布荷载作用下的任何一段直杆，其弯矩图均可看成

11、一个梯形与一个标准抛物线图形的叠加。,叠加后的抛物线 图形（）与原抛物 线图形（）的面积 大小和形心位置以及 形心处的竖标仍然是 相同的。,A,B,L,结构位移计算,返 回,21,当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。,1,2,3,y1,y2,y3,1,2,3,y1,y2,y3,=,(1y1+ 2y2+ 3y3),I1,I2,I3,=,结构位移计算,返 回,22,例 62 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。,A,B,C,D,L,h,q,解：,1. 作实际状态的MP图。,MP图,2. 设置虚拟状态并作,。,1,1,h,h,yC=h,

12、3. 按式（69）计算,（）,CD=,EI,yC,=,EI,1,(,3,2,8,qL,2,L),h,=,12EI,qhL,2,形心,结构位移计算,返 回,23,例 63 求图示刚架A点的竖向位移Ay 。,A,B,C,D,EI,EI,2EI,P,L,L,L/2,解： 1. 作MP图、,P,PL,MP图,1,L,；,2. 图乘计算。,Ay=,（）,EI,yC,=,EI,1,(,2,LL,2,PL,(L,4,=,16EI,PL,2,),-,2EI,1,2,3L,),PL,结构位移计算,返 回,24,例 64 求图示外伸梁C点的竖向位移Cy。 EI=常数。,q,A,B,C,L,图,1,1,y2,y3,

13、+,解：,1. 作MP图,2. 作,图,3. 图乘计算,y1=,y2=,y3=,Cy=,y1,MP图,2,3,结构位移计算,返 回,25,例 65 试求图示梁B端转角,解:,MP,Mi,26,例 66 试求图示结构B点竖向位移,解:,MP,Mi,27,图,图,例 67 求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,解:,28,例 69 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 。,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,29,例 610 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 。,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,q,30,例 611 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。,31,例 611 图示梁 EI

14、 为常数，求C点竖向位移 。,32,例 611 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。,33,图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。,MP,练习,对称弯矩图,反对称弯矩图,对称结构的对称弯矩图与 其反对称弯矩图图乘,结果 为零.,34,作变形草图,绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：,35,求B点水平位移。,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,注意:各杆刚度 可能不同,36,已知 EI 为常数，求B截面转角。,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,37,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求B点水平位

15、移,EI=常数。,38,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求C、D两点相对水平位移 。,39,已知： E、I、A为常数，求 。,40,解：作荷载内力图和单位荷载内力图,若把二力杆换成弹簧,该如何计算?,41,B支座处为刚度k的弹簧，该如何计算C点竖向位移？,P,有弹簧支座的结构位移计算公式为:,42,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,求A点竖向位移,EI=常数 。,43,66 静定结构温度变化时的位移计算,当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生 变形和位移。,设结构(见图)外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2 ,求K点的竖向位移Kt 。,t1,t2,K,K,Kt,

16、现研究实际状态中任一微段ds, 由于温度变化产生的变形。,ds,ds,Kt=,此时由式（64）可得,h,t1,t2,t2ds,t1ds,dt,dut=(t1ds+t2ds)/2= tds,(a),(b),K,ds,PK=1,ds,实,虚,式中,dt=(t2ds-t1ds)/h=,t= t2t1,(c),h,tds,式中,将式（b) 、(c)代入式（a)，得,Kt=,（610）,温度变化不会引起剪切变形，即t=0,结构位移计算,返 回,44,Kt,（610）,若各杆均为等截面时，则有,Kt,（611）,在应用上面二式计算时，应注意正负号的确定。当 实际温度变形与虚拟内力方向一致时其乘积为正，相反

17、 时为负。,梁和刚架可略去轴力的影响。,桁架在温度变化时的位移计算公式为,Kt=,（612）,桁架因制造误差引起的位移计算与上式类似。设各杆长 度的制造误差为,L,其位移计算公式为,K=,（613）,结构位移计算,返 回,45,例：65 图示刚架施工时温度为20，求冬季外侧温度 为10，内侧温度为0时A点的竖向位移 Ay。已知L=4m，=105，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。,L,L,t1,t2,实,解：,外侧温度变化,绘,图，,A,A,1,虚,1,代入式（611），并注意正负号(判断)，,L,Ay,可得,t1=,1020=30,内侧温度变 化,t2=020=20 。,t=(t1+t2)

18、/2=25 ,t=t2t1=10,结构位移计算,返 回,46,67 静定结构支座移动时的位移计算,对于静定结构，支座移动并不引起内力。此时，位移计算公式化简为,Kc=,（614）,例：图示三铰刚架右边支座的竖向位移By=0.06m 水平位移Bx=0.04m,已知 L=12m，h=8m。求A 。,h,L/2,L/2,Bx,By,实,A,B,C,解： 虚拟状态如图。,A,B,C,1,由（614） 式得,A,=0.0075rad,虚,结构位移计算,返 回,47,68 线弹性结构的互等定理,（1）功的互等定理：,第一状态 M1、N1、Q1、P1、21,1,2,P1,21,1,2,P2,12,第二状态 M2、N2、Q2、P2、12,据虚功原理有,W21=Wi21,W12=,W21=,或,W12=W21,故,P112= P221,（615），,（616）,第一状态的外力在第二状态的位移上所作 的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。,P112,P221,W12=Wi12 ，,证明如下：,结构位移计算,返 回,48,（2）位移互等定理:,1,2,P1=1,21,1,2,P2=1,12,据功的互等定理,112=121（影响系数）,即,12= 21,（617）,P1=1,