第四章 4.7-4.12.pdf

1、4.7 由系统函数零、极点 分布决定时域特性 序言序言 H(s)零、极点与零、极点与h(t)波形特征波形特征 H(s) 、E(s)的极点分布与自由响的极点分布与自由响 应、强迫响应特性的对应应、强迫响应特性的对应 一序言一序言 冲激响应冲激响应h(t)与系统函数与系统函数H(s) 从时域和变换域两方从时域和变换域两方 面表征了同一系统的本性。面表征了同一系统的本性。 在在s域分析中，借助系统函数在域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点平面零点与极点 分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的规律

2、。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。零、极点分布表现出来。 主要优点：主要优点： 1可以预言系统的时域特性；可以预言系统的时域特性； 2便于划分系统的各个分量便于划分系统的各个分量 （自由强迫，瞬态稳态）；（自由强迫，瞬态稳态）； 3可以用来说明系统的正弦稳态特性。可以用来说明系统的正弦稳态特性。 二二H(s)零、极点与零、极点与h(t)波形特征的对应波形特征的对应 )()()( )()()( )( )( )( 21 21 nk mj pspspsps zszszszs K sB sA sH K 系统函数的零点系统函数的零点 , 21n zzz 系统函数的极点系统

3、函数的极点 , 21n ppp 在在s平面上，画出平面上，画出H(s)的零极点图：的零极点图： 极点：用极点：用表示，零点：用表示，零点：用表示表示 m j j zs 1 )( n k k ps 1 )( 1系统函数的零、极点 2H(s)极点分布与原函数的对应关系 j O 0 j 0 j 几种典型情况几种典型情况 一阶极点 在原点，在原点，0, 1 )( 1 p s sH)()()( 1 tusHLth ap as sH 1 , 1 )( , 0),(e)(, , 0 ),(e)(, , 0 指数增加指数增加在右实轴上在右实轴上 指数衰减指数衰减在左实轴上在左实轴上 atutha tutha

4、at at 在虚轴上在虚轴上,j,)( 1 22 p s sH )(sin)(，等幅振荡，等幅振荡ttuth , )( )( 22 s sH 共轭根共轭根,j,j 21 pp 当当 ，极点在左半平面，衰减振荡，极点在左半平面，衰减振荡 当当 ，极点在右半平面，增幅振荡，极点在右半平面，增幅振荡 0 0 二阶极点 , 1 )( 2 极点在原点极点在原点 s sH )(,),()(thtttuth 极点在实轴上，极点在实轴上，, )( 1 )( 2 as sH 0)(, 0),(e)( thttutth t 在虚轴上，在虚轴上，, )( 2 )( 222 s s sH 增幅振荡增幅振荡 )(,),

5、(sin)(thtttutth , t )(sH 有实际物理意义的物理系统都是有实际物理意义的物理系统都是因果系统因果系统，即随，即随 ， 这表明的极点位于这表明的极点位于左左半平面，由此可知，半平面，由此可知， 收敛域收敛域包括虚轴包括虚轴， 均存在，两者可通用，只均存在，两者可通用，只 需需 将即可。将即可。 )(j FsF和和 js 0th 三H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、 强迫响应特性的对应 激励：激励： )()(sEte v k k u l l Ps zs sE 1 1 )( )( )( 系统函数：系统函数： )()(sHth n i i m j j Ps zs sH 1

6、 1 )( )( )( 响应：响应： )()(sRtr n i i m j j ps zs 1 1 )( )( v k k k ps A 1 )()( 1 sRLtr 自由响应分量自由响应分量 强制响应分量强制响应分量 v k k u l l Ps zs 1 1 )( )( )(sR n i i i ps A 1 )(sR v k tp k tuA k 1 )(e n i tp i tuA i 1 )(e 讨论 自由响应自由响应的极点只由系统的极点只由系统本身的特性本身的特性所决定，与激励所决定，与激励 函数的形式无关，然而系数函数的形式无关，然而系数 都有关。都有关。 sEsHAA ki ,

7、与与 响应函数响应函数r(t)由两部分组成：由两部分组成： 系统函数系统函数的极点的极点自由自由响应分量；响应分量； 激励函数激励函数的极点的极点强迫强迫响应分量。响应分量。 定义定义系统行列式（特征方程）的根为系统的系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率固有频率 （或称“自然频率”、“自由频率”）。（或称“自然频率”、“自由频率”）。 H(s)的极点都是系统的固有频率；的极点都是系统的固有频率； H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失零、极点相消时，某些固有频率将丢失。 暂态响应和稳态响应 瞬态响应瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出

8、现 的有关成分，随着的有关成分，随着t增大，将消失。增大，将消失。 稳态响应稳态响应完全响应瞬态响应完全响应瞬态响应 左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。 例4-7-1 )2j)(2j()1( )1j1)(1j1( )( 2 sss sss sH 极点：极点： , 1 21 pp 零点：零点： 4 z j 0 j 1 j 1 2j 2j 1 画出零极点图：画出零极点图： , 2j 3 p 2j 4 p , 0 1 z , 1j1 2 z , 1j1 3 z 例4-7-2，教材习题2-6(1) 给定系统微分方程给定系统微分方程 te t te tr

9、t tr t tr 3 d d 2 d d 3 d d 2 2 20, 10 / rrtute，起始状态为，起始状态为激励激励 试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态试分别求它们的完全响应，并指出其零输入响应，零状态 响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态响应，自由响应，强迫响应各分量，暂态响应分量和稳态 响应分量。响应分量。 sEessE sRrssRrsrsRs 30 20300 2 解：解： 方程两端取拉氏变换方程两端取拉氏变换 零输入响应零状态响应 0300323 2 rrsrsEssRss 则则 23 0300 2 zi ss rrsr sR 23 3 2 z

10、s ss sEs sR 0 e3e4)( 2 zi ttr tt :即零状态响应为即零状态响应为 )0( 5 . 1e2e5 . 0)( 2 zs ttr tt :零输入响应为零输入响应为 稳态响应暂态响应，自由响应强迫响应 s sR 1 5 . 1 2 1 5 . 2 1 1 2 ss )0( e5 . 2 e2 2 t tt 极点位于极点位于s s左半平面左半平面 5 . 1)( tr 极点位于虚轴极点位于虚轴 暂态响应暂态响应 稳态响应稳态响应 s sR 1 5 . 1 2 1 5 . 2 1 1 2 ss )0( e5 . 2 e2 2 t tt H(s)的极点的极点 5 . 1)(

11、tr E(s)的极点的极点 自由响应自由响应 强迫响应强迫响应 4.8 由系统函数零、极点分布 决定频响特性 定义定义 几种常见的滤波器几种常见的滤波器 根据根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线零极图绘制系统的频响特性曲线 一定义 所谓所谓“频响特性频响特性”是指系统在正弦信号激励下稳态响是指系统在正弦信号激励下稳态响 应随频率的变化情况。应随频率的变化情况。 H j 前提：稳定的因果系统。前提：稳定的因果系统。 有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。有实际意义的物理系统都是稳定的因果系统。 0lim th t 时域：时域： 频域：频域：H(s)的全部极点落在的全部极点落在s左半平面。左

12、半平面。 其收敛域包括虚轴：其收敛域包括虚轴： 拉氏变换拉氏变换 存在存在 傅里叶变换傅里叶变换 存在存在 tEtesH 0m sin ，激励源，激励源设系统函数为设系统函数为 000mmm sin tHEtr 0 j 00 0 ej j HH s sH 其中其中 HH s sH j ejj j H j H(s)和频响特性的关系 频响特性频响特性 系统的稳态响应系统的稳态响应 幅频特性幅频特性 相相频特性（相移特性）频特性（相移特性） 二几种常见的滤波器 O jH c O jH c O jH 1c 2c O jH 1c 低通滤波器低通滤波器高通滤波器高通滤波器 带通滤波器带通滤波器带阻滤波器带

13、阻滤波器 通带通带阻带阻带 截止频率截止频率 2c 三根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线 n i i m j j s n i i m j j s p z K Ps zs KsHH 1 1 j 1 1 j j j j j jj Nz j ej i ii MP j ej 平面内。平面内。 矢量图画于复矢量图画于复都看作两矢量之差，将都看作两矢量之差，将、将将 -j j ij p z 有关。有关。的特性与零极点的位置的特性与零极点的位置可见可见H j 令分子中每一项令分子中每一项 分母中每一项分母中每一项 画零极点图 O j z j j N j j i M i p j z j N j i O

14、发生变化。发生变化。 都都、和和、则则矢量变矢量变是滑动矢量，是滑动矢量， iijj MN , jj i i pM i j ej ：极点极点 j j zN j j ej ：零点零点 n m n m MMM NNN KH jj 2 j 1 jj 2 j 1 eee eee j 21 21 n m n m MMM NNN K 21 21 j 21 j 21 e e n m MMM NNN KH 21 21 j nm 2121 当当 沿虚轴移动时沿虚轴移动时，各复数因子各复数因子( (矢量矢量) )的模和辐角都的模和辐角都 随之改变随之改变，于是得出幅频特性曲线和相频特性曲线于是得出幅频特性曲线和相

15、频特性曲线。 由矢量图确定频率响应特性 例4-8-1 确定图示系统的频响特性。确定图示系统的频响特性。 sC 1 R sV1 sV2 sC R R sV sV sH 1 )( )( 1 2 RC s s sH 1 )( 1 1 j 1 j 1 e e 1 j j j M N RC H O RC 1 j 1 M 1 N 1 1 0 1 z零点：零点： RC p 1 1 极点：极点： 频响特性分析频响特性分析 H j 2 2 1 RC 1j 2 1 j 1 0j0 H H RC H CRarctan 2 0 4 1 2 0 RC O RC 1 j 1 M 1 N 1 1 0246810 0 0.5

16、 1 0246810 0 0.5 1 1.5 2 例4-8-2 O RC 1 j 1 M 1 C R tv1 tv2 研究下图所示研究下图所示RCRC低通滤波网络低通滤波网络 的频响特性的频响特性。 V V H j j j 1 2 写出网络转移函数表达式写出网络转移函数表达式 RC s RCsV sV sH 1 11 1 2 解解: : V V MRC j 1 2 j 1 e e 11 1 频响特性 V V MRC H j 1 2 j 1 e e 11 j 1 O RC 1 j 1 M 1 O RC 1 1 2 V V 1 2 1 O RC 1 45 90 1 1 2 , 11 MRCV V

17、式中：式中： 处处于于低通网络，截止频率位低通网络，截止频率位 RC 1 例4-8-3 。源，且源，且 是受控电压是受控电压注意，图中注意，图中 的频响特性的频响特性 系统系统研究右图所示二阶研究右图所示二阶 2211 3 1 2 , j j j CRCR kv V V H RC 其转移函数为其转移函数为 2211 111 2 11 11 CR s s k CR s CRsV sV sH 相当于低通与高通级联构成的带通系统。相当于低通与高通级联构成的带通系统。 解：解： 低通滤波器低通滤波器 高通滤波器高通滤波器 1 R 1 C 2 C 2 R 3 kv tv2 tv1 tv3 频响特性频响特

18、性 O j 1 M 1 11 1 CR 2 M 22 1 CR 2 1 N 1 0 1 1 1 22 2 11 1 z CR p CR p 零点：零点： ，极点：极点： 2211 CRCR k 2 k 1 2 V V 22 1 CR 11 1 CR O O 90 90 45 45 4.9 全通函数与最小相移函 数的零、极点分布 全通网络全通网络 最小相移网络最小相移网络 级联级联 一全通网络 所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的所谓全通是指它的幅频特性为常数，对于全部频率的 正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。正弦信号都能按同样的幅度传输系数通过。 零、极点分布零、极点分布 2 2

19、 1 1 3 3 1 M 1 N 2 N 3 N 2 M 3 M 3 p 2 p 1 p 1 z 3 z 2 z j 极点位于左半平面，极点位于左半平面， 零点位于右半平面，零点位于右半平面， 零点与极点对于虚轴零点与极点对于虚轴 互为镜像互为镜像 频率特性频率特性 幅频特性幅频特性常数常数 相频特性相频特性不受约束不受约束 全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性，全通网络可以保证不影响待传送信号的幅度频谱特性， 只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行只改变信号的相位频谱特性，在传输系统中常用来进行 相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。

20、 321321 321321 j j 321 321 e ej K MMM NNN KH 由于由于N1N2N3与与M1M2M3相消，幅频特性等于常数相消，幅频特性等于常数K，即，即 KH j 二最小相移网络 j 1 212 2j 2j 1j 1j 1 p 2 p 1 z 2 z O 1 1 j 1 212 2j 2j 1 j 1j 3 p 4 p 3 z 4 z 移网络”。移网络”。轴的网络称为“最小相轴的网络称为“最小相零点仅位于左半平面或零点仅位于左半平面或j 若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为“非非 最小相移函数最小相移函数”，这类网

21、络称为，这类网络称为“非最小相移网络非最小相移网络”。 3 3 33113131 O 三级联 1 z 2 z j j j j O j j 1 z 2 z j j O j j j j 非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的非最小相移网络可代之以最小相移网络与全通网络的 级联。级联。 j j j j O j j j 非最小相移网络非最小相移网络 最小相移网络最小相移网络 全通网络全通网络 全通函数全通函数 最小相移函数最小相移函数 移函数移函数 非最小相非最小相 2 2 2 2 2 2 min jj jj jj s s ssHsH 4.10 线性系统的稳定性 引言引言 定义（定义（BIBO

22、） 证明证明 由由H(s)的极点位置判断系统稳定性的极点位置判断系统稳定性 一引言一引言 某连续时间系统的系统函数某连续时间系统的系统函数 2 001. 0 1 1 ss sH 当输入为当输入为u(t)时，系统的零状态响应的象函数为时，系统的零状态响应的象函数为 2 005. 0 1 1005. 01 zs sss sR tutr tt2 zs e005. 0e1 1005. 0 但但t很大时，这个正指数项超很大时，这个正指数项超 过其他项并随着过其他项并随着t 的增大而不的增大而不 断增大断增大 续 实际的系统实际的系统不会是完全线性不会是完全线性的，这样，很大的信号的，这样，很大的信号 将

23、使设备工作在将使设备工作在非线性非线性部分，放大器的晶体管会饱和或部分，放大器的晶体管会饱和或 截止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使截止，一个机械系统可能停车或发生故障等。这不仅使 系统不能正常工作，有时还会发生损坏危险，如烧毁设系统不能正常工作，有时还会发生损坏危险，如烧毁设 备等。备等。 稳定性是系统稳定性是系统自身的性质自身的性质之一之一，系统是否稳定系统是否稳定与激与激 励信号的情况无关励信号的情况无关。冲激响应和冲激响应和h(t)、H(s)系统函数系统函数 从两方面表征了同一系统的本性从两方面表征了同一系统的本性，所以能从两个方面确所以能从两个方面确 定系统的稳定性定系统

24、的稳定性。 二定义（BIBO） 一个系统一个系统，如果对任意的有界输入如果对任意的有界输入，其零状态响应其零状态响应 也是也是有界有界的的，则称该系统有界输入有界输出则称该系统有界输入有界输出（BIBO） 稳定的系统稳定的系统，简称简称稳定系统稳定系统。 对所有的激励信号对所有的激励信号e(t) e Mte r Mtr 其响应其响应r(t)满足满足 则称该系统是稳定的则称该系统是稳定的。式中式中， 稳定系统的充分必要条件是稳定系统的充分必要条件是（绝对可积条件绝对可积条件）： 为有界正值。为有界正值。 re,M M Mtth d为有界正值。为有界正值。M 三证明 对任意有界输入对任意有界输入e

25、(t)，系统的零状态响应为：，系统的零状态响应为： d tehtr d tehtr 得得，代入代入 e Mte d e hMtr 充分性充分性 则则，如果满足如果满足 Mdtth MMtr e 充分性得证充分性得证 01 00 01 sgn th th th thte 。选择如下信号：。选择如下信号：的的 产生无界产生无界界的界的有有无界，则至少有一个无界，则至少有一个如果如果 )( )( d tr tetth trththte , 则响应则响应这表明这表明 dtehtr dd0 hehr 0d 也无界也无界无界，则无界，则若若此式表明：此式表明：rtth 必要性必要性 必要性得证。必要性得证

26、。 四由H(s)的极点位置判断系统稳定性 1 1稳定系统稳定系统 若若H(s)的全部极点位于的全部极点位于s平面的左半平面平面的左半平面（不包括虚不包括虚 轴轴），则可满足则可满足 0)(lim th t 系统是稳定的。系统是稳定的。 0 , 1 p ps 0, 0 1 2 qp qpss 例如例如 系统稳定；系统稳定； 系统稳定。系统稳定。 2 2不稳定系统不稳定系统 )(limth t 如果如果H(s)的极点位于的极点位于s s右半平面右半平面，或在虚轴上有二或在虚轴上有二 阶阶（或以上或以上）极点极点 系统是不稳定系统。系统是不稳定系统。 3临界稳定系统 如果如果H(s)极点位于极点位于

27、s s平面虚轴上，且只有一阶。平面虚轴上，且只有一阶。 为非零数值或等幅振荡。为非零数值或等幅振荡。 )(,tht 4 4系统稳定性的判据系统稳定性的判据 tthd)(时域：时域： 从频域看要求从频域看要求H(s)的极点：的极点： 右半平面不能有极点右半平面不能有极点( (稳定稳定) ) 虚轴上极点是单阶的虚轴上极点是单阶的( (临界稳定临界稳定, ,实际不稳定实际不稳定) )。 例4-10-1 21 1 ss sG sG sF sY sX k 当常数当常数k满足什么条件时，系统是稳定的？满足什么条件时，系统是稳定的？ skYsFsX 加法器输出端的信号加法器输出端的信号 sXsGsY 输出信

28、号输出信号 如图所示反馈系统，子系统的系统函数如图所示反馈系统，子系统的系统函数 sYskGsFsG sF sY sH 的极点的极点sH kp 4 9 2 1 2, 1 则反馈系统的系统函数为则反馈系统的系统函数为 0 4 9 2 1 0 4 9 OR 0 4 9 k k k 时系统是稳定的。时系统是稳定的。即即可得可得2, 2 kk 为使极点均在为使极点均在s左半平面，必须左半平面，必须 skG sG 1 kss 2 1 2 4.11 双边拉氏变换 定义定义 双边拉氏变换的收敛域双边拉氏变换的收敛域 一定义 ttfsF st B de 优点：优点： 更清楚。更清楚。作统一考虑，可使概念作统一

29、考虑，可使概念到到的问题从时间为的问题从时间为 究究在某些情况下，把所研在某些情况下，把所研范围内范围内信号不必限在信号不必限在 ,0t 变换的关系。变换的关系。拉式变换和拉式变换和全面理解傅式变换全面理解傅式变换 于于变换的联系更密切，便变换的联系更密切，便双边拉式变换与傅里叶双边拉式变换与傅里叶 z, 收敛域：收敛域： .收敛域收敛域 时，必须注明其时，必须注明其式变换式式变换式在给出某函数的双边拉在给出某函数的双边拉sFB 二双边拉氏变换的收敛域 O j 全时域信号全时域信号 为实数）为实数） ,( 0e 0e e t t t t tp 收敛带收敛带 0eelim tt t 0eelim

30、 tt t 0:则则 0:则则 函数皆为零即可。函数皆为零即可。 时，乘积时，乘积乘以收敛因子后，在乘以收敛因子后，在从时域看，只要从时域看，只要t pt e 双边拉氏变换不存在双边拉氏变换不存在 双边拉氏变换存在双边拉氏变换存在 所以所以 O j 1O 1 t tf1 O j O 1 t tf2 tu ss sFB 1 1 1 tututf t e 10 1 tutf t e1 1 2 tutf t 1e 0 3 不同的函数在各不相同的收敛不同的函数在各不相同的收敛 条件下可能得到同样的拉式变换。条件下可能得到同样的拉式变换。 O j 1O 1 t tf3 t e 例： 波形。波形。”端，求

31、”端，求转至“转至“ ”从“从“时，时，”端，当”端，当位于“位于“ 时，开关时，开关右图电路，右图电路， tv t t c 2 1S01S 0 tEute 取双边拉式变换，注明收敛域取双边拉式变换，注明收敛域 0 S E sE 系统函数系统函数 sC R sC sH 1 1 2 1 S E R C tvC 解：解： 的双边拉式变换为的双边拉式变换为tvc 0 1 1 1 RC sC R sC s E sHsEsVc 0 1 1 1 RC sC R sC s E 求得求得 0 1 e 1 RC tuEtEutv RC c 每一步都应写明变换式的收敛域。每一步都应写明变换式的收敛域。 Ot te

32、 E Ot tvC E 4.12 拉普拉斯变换与傅里叶 变换的关系 演变为拉氏变换演变为拉氏变换 作傅氏变换作傅氏变换对其乘以一个衰减因子对其乘以一个衰减因子可积条件可积条件 不满足绝对不满足绝对是针对是针对时时我们在引出拉氏变换我们在引出拉氏变换 , e , , t tf )(e)()( js t sFtutfFtfL 由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系 右半平面右半平面收敛边界落于收敛边界落于时时当当 , 0 0 s 左半平面左半平面收敛边界落于收敛边界落于时时当当s,0 0 收敛边界位于虚轴收敛边界位于虚轴时时当当,0 0 引言 傅氏变换与拉氏变换的

33、关系 t sj 双边拉氏变换双边拉氏变换 t sj 傅氏变换傅氏变换 t s 0 j 单边拉氏变换单边拉氏变换 0)( 0 tf t当当 0 )j( e s tutfFtfL t 一 O j 平面右半边平面右半边收敛边界落于收敛边界落于时时当当 , 0 0 s )0()(e)( tutf t s sF 1 : 其拉氏变换其拉氏变换 。求求不存在，不能由不存在，不能由)()()(FsFF : 收敛域收敛域 Ot tu t e 二 O j Ot tu t e 平面左半边平面左半边收敛边界落于收敛边界落于时时当当s,0 0 )0()(e tutf t 衰减函数，傅氏变换是存在衰减函数，傅氏变换是存在

34、: : 1 s sF j 1 )(j F :收敛域收敛域 s sFF j )(j 三 收敛边界位于虚轴收敛边界位于虚轴时时当当,0 0 异函数项。异函数项。因为傅氏变换中包括奇因为傅氏变换中包括奇 关系关系之间不再是简单的置换之间不再是简单的置换与与是存在的，是存在的，,sFFsF tutf ， 1 s sF j 1 )()(j F 例如：例如： 当初求阶跃函数的傅氏变换当初求阶跃函数的傅氏变换，不是用不是用经典法经典法 ( (定义式定义式) )，而是用而是用取极限取极限的方法的方法（矩形脉冲的周期矩形脉冲的周期 为无穷大为无穷大）引入了引入了冲激函数冲激函数而得到的而得到的。 ?jFsF求求那么如何由那么如何由 )(j, j )()(为极点为极点 n nn n s k sFtfL )(| )()