高三数学复习导数在研究函数中的应用第一课时利用导数研究函数的单调性课件理.pptx

1、第2节导数在研究函数中的应用,知识链条完善,考点专项突破,类题探源精析,知识链条完善 把散落的知识连起来,【教材导读】 1.若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f(x)0吗?f(x)0是否是f(x)在(a,b)内单调递增的充要条件? 提示:函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f(x)0,f(x)0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件. 2.f(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取极值的什么条件? 提示:必要不充分条件,因为当f(x0)=0且x0左右两端的导数符号变化时,才能说f(x)在x=x0处取得极值.反过来,如果可导函数f(x)在x=x0处取极值,则一定有f

2、(x0)=0.,知识梳理,1.函数的单调性与导数 (1)函数y=f(x)在某个区间内可导 若f(x)0,则f(x)在这个区间内 ; 若f(x)0,则f(x)在这个区间内 ; 如果在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x)为常函数. (2)单调性的应用 若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调,则y=f(x)在该区间上不存在变号零点. 2.函数的极值与导数 (1)函数极小值的概念 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小; f(a)=0;,单调递增,单调递减,在点x=a附近的左侧 ,右侧 ; 则点a叫做函数y=f(x)的 ,f(a)叫做函数y=f(x)的 .

3、 (2)函数极大值的概念 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大; f(b)=0; 在点x=b附近的左侧 ,右侧 ; 则点b叫做函数y=f(x)的 ,f(b)叫做函数y=f(x)的 ;极小值点与极大值点统称为 ,极小值与极大值统称为 . 3.函数的最值与导数 求函数y=f(x)在闭区间a,b上的最大值与最小值的步骤: (1)求y=f(x)在(a,b)内的 ; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中 的一个为最大值, 的一个为最小值.,f(x)0,f(x)0,极小值点,极小值,f(x)0,f(x)0,极大值点,极大值

4、,极值点,极值,极值,最大,最小,4.利用导数解决实际生活中的优化问题 (1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出相应的函数关系式y=f(x)并确定定义域; (2)求导数f(x),解方程f(x)=0; (3)判断使f(x)=0的点是极大值点还是极小值点; (4)确定函数的最大值或最小值,还原到实际问题中作答. 【重要结论】 1.若函数f(x)的图象连续不断,则f(x)在a,b内一定有最值. 2.若函数f(x)在a,b内是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值. 3.若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值一定是函数的最值.,夯基自测,B,A,

5、2.(2016唐山质检)函数f(x)=3x2+ln x-2x的极值点的个数是( ) (A)0(B)1(C)2(D)无数个,C,3.从边长为10 cm16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的盒子,则盒子容积的最大值为( ) (A)12 cm3(B)72 cm3(C)144 cm3(D)160 cm3,解析:f(x)=3x2-a0在1,+)上恒成立, 即a3x2在1,+)上恒成立, 所以a3.,答案:3,4.已知f(x)=x3-ax在1,+)上是增函数,则a的最大值是.,5.给出下列命题: f(x)0是f(x)为增函数的充要条件. 函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的.

6、 函数的极大值不一定比极小值大. 对可导函数f(x),f(x0)=0是x0点为极值点的充要条件. 函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值. 其中真命题是.(写出所有真命题的序号),解析:错误.f(x)0能推出f(x)为增函数,反之不一定.如函数f(x)=x3在(-,+)上单调递增, 但f(x)0. 所以f(x)0是f(x)为增函数的充分条件,但不是必要条件. 错误.一个函数在某区间上或定义域内的极大值可以不止一个. 正确.一个函数的极大值与极小值没有确定的大小关系,极大值可能比极小值大,也可能比极小值小,还可能与极小值相等. 错误.对可导函数f(x),f(x0)=0只是x0点

7、为极值点的必要条件,如y=x3在x=0时f(0)=0,而函数在R上为增函数,所以0不是极值点. 正确.当函数仅在区间端点处取得最值时,这时的最值不是极值.,答案:,第一课时利用导数研究函数的单调性,考点专项突破 在讲练中理解知识,考点一,判断或证明函数的单调性,高考扫描:2013高考新课标全国卷,2014高考新课标全国卷,2015高考新课标全国卷 【例1】 已知函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1,讨论函数f(x)的单调性.,当a0时,f(x)0,故f(x)在(0,+)上单调递减;,反思归纳 导数法证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求f(x); (2)确定f(x)在(

8、a,b)内的符号; (3)作出结论:f(x)0时为增函数;f(x)0时为减函数.,【即时训练】 已知函数f(x)=x2-ex,试判断f(x)的单调性并给予证明.,解:f(x)在R上单调递减, f(x)=2x-ex,只要证明f(x)0恒成立即可. 设g(x)=f(x)=2x-ex,则g(x)=2-ex, 当x=ln 2时,g(x)=0, 当x(-,ln 2)时,g(x)0. 当x(ln 2,+)时,g(x)0, 所以f(x)max=g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-20, 所以f(x)0恒成立, 所以f(x)在R上单调递减.,考点二,求函数的单调区间,(2)求函数f(x)的单调区间.,

9、反思归纳,用导数求函数的单调区间的“三个方法” (1)当不等式f(x)0或f(x)0或f(x)0或f(x)0及方程f(x)=0均不可解时求导数并化简,根据f(x)的结构特征,选择相应基本初等函数,利用其图象与性质确定f(x)的符号,得单调区间.,【即时训练】 已知函数f(x)=ln x-ax(aR).求函数f(x)的单调区间.,已知函数的单调性求参数的取值范围,考点三,(2)由(1)得,f(x)=x2-ax=x(x-a)(a0), 当x(-,0)时,f(x)0; 当x(0,a)时,f(x)0. 所以函数f(x)的单调递增区间为(-,0),(a,+),单调递减区间为(0,a).,(3)设函数g(

10、x)=f(x)+2x,且g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数a的取值范围.,反思归纳,已知函数单调性,求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题来求解:即“若函数单调递增,则f(x)0;若函数单调递减,则f(x)0”. 提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a,b)都有f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.,【即时训练】 设函数f(x)=(x+a)eax(aR). (1)求函数f(x)的单调区间;,(2)若函数f(x)在区间(-4,4)内单

11、调递增,求a的取值范围.,备选例题,答案:(0,1,【例2】 已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)讨论f(x)的单调性;,(2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取值范围.,解：(2)因为f(x)在(-,+)上是增函数, 所以f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立, 即a3x2对xR恒成立. 因为3x20, 所以只需a0. 又因为a=0时,f(x)=3x20,f(x)=x3-1在R上是增函数, 所以a0, 即a的取值范围为(-,0.,类题探源精析 把复杂的问题简单化,导函数图象与原函数图象的关系,教材源题:水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.,解: (1)(B),(2)(A),(3)(D),(4)(C).,方法总结 若函数在某范围内导数的绝对值