ARCH模型专题.ppt

1、,ARCH模型简介,考察严平稳随机序列yt, 且Eyt. 记其均值Eyt=, 协方差函数k=E(yt-)(yt+k-). 其条件期望(或条件均值): E(ytyt-1,yt-2,)(yt-1,yt-2,) (1.1) 依条件期望的性质有 E(yt-1,yt-2,)=EE(ytyt-1,yt-2,)= Eyt =. (1.2) 记误差(或残差): et yt -(yt-1,yt-2,). (1.3),一、前言,随机序列的条件均值 E(etyt-1,yt-2,)=Eyt-( yt-1,yt-2,) yt-1,yt-2, =E(yt yt-1,yt-2,)- E( yt-1,yt-2,) yt-1,

2、yt-2, = ( yt-1,yt-2,)- ( yt-1,yt-2,)=0. (1.4) 随机序列的条件方差 Var(etyt-1,yt-2,)=Eet- E(etyt-1,yt-2,1)2 yt-1,yt-2, = Eet2 yt-1,yt-2, S2(yt-1,yt-2,). (1.5) 此处S2(yt-1,yt-2,)为条件方差函数. 注意, et的条件均值是零, 条件方差是非负的函数S2(yt-1,yt-2,), 它不一定是常数。,自回归函数 依(0.3)式, 平稳随机序列yt总有如下表达式: yt = ( yt-1,yt-2,)+et, (1.6) 其中(yt-1,yt-2,)被称

3、为自回归函数, 不一定是线性的. et为鞅差序列（因为对它的求和是离散的鞅序列. 由于yt是 严平稳随机序列, 且Eyt,上述推演是严格的, 从而et是严平 稳的鞅差序列. ）,条件异方差自回归模型 将et标准化, 即令 t et/S(yt-1,yt-2,). 则有 E(tyt-1,yt-2,)=Eet/S(yt-1,yt-2,) yt-1,yt-2, =1/S(yt-1,yt-2,)Eet yt-1,yt-2, =0. （1.7） E(t2yt-1,yt-2,)=Eet2/S2(yt-1,yt-2,)yt-1,yt-2, =1/S2(yt-1,yt-2,)Eet2yt-1,yt-2, =S2

4、(yt-1,yt-2,)/S2(yt-1,yt-2,)=1. (1.8) 同样，t也是平稳鞅差序列。 于是0.6式可以写成 yt=( yt-1,yt-2,) + S(yt-1,yt-2,)t （1.9） 此式可称为条件异方差自回归模型 所谓条件异方差就是指: 条件方差S2(yt-1,yt-2,)不为常数.,在条件异方差模型问世以前, 时间序列分析主要讨论自回归结构, 或者说, 主要讨论(yt-1,yt-2,)的有关内容. 当条件异方差模型问世后, 在时间序列分析中, 特别是建模分析中, 就包含了两个内容,一个与(yt-1,yt-2,)有关; 另一个与S(yt-1,yt-2,)有关. 如何统计分

5、析它们, 是摆在我们面前的主要问题. 考虑如下的模型 yt=et, (1.10) 它的标准化的模型(0.12)为 yt=S(yt-1,yt-2,)t. (1.11) 这一模型几乎含盖了所有的条件异方差模型.接着发现相关性分析和谱分析不能对(1.1)式的序列作出更深刻的分析. 为了进一步获得它的深入的结构特征, 必须引入新的概念和新的方法.,(ARCH-Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) Engle(1982)引入条件方差的概念来分析方差变化的原因，首先提出并使用了如下的模型: yt=S(yt-1, yt-2, )t ht1/2 t, (

6、2.1) ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2, (2.2) 00, i0, i=1,2,p. 其中t为i.i.d.的序列, tN(0, 1), 且t与yt-1, yt-2, 独 立, 为了简化记号, 记ht=S2(yt-1, yt-2, ). 此模型被称为自回归条件异方差模型, 简记ARCH(p),其 中p表示模型的阶数.,二、ARCH模型,其一, 限定t为i.i.d.序列，这是很强的限制, 这是由于现有理论的基楚所限. 其二, 限定条件方差有2.2式的简单形式, 即ht=S2(yt-1, yt-2, )=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2,是为了统计分析方便. 其三

7、, 限定t服从正态分布, 是为了求极大似然估计方便. 限制 tN(0, 1), 而不用 tN(0, 2), 是因为t满足标准化的1.8模型式. 其四, 限制 00, i0, i=1,2,p, 是为了保证条件方差函数ht=S2(yt-1, yt-2, )0. 限制 00, 而不是00, 这是为了保证模型(1.5)(1.6)有平稳解.,在对ARCH模型的理论研究和应用中, 人们自然会发问: 在2.2式中, yt的条件方差S2(yt-1, yt-2, ) ht=0+1yt-12+2yt- 22+pyt-p2, 只依赖于p个历史值, 能否考虑依赖全部历史值 的情况? Bollerslev(1986)给

8、出了回答, 他提出了如下的更广的模型, 即 GARCH模型: yt=S(yt-1, yt-2, )t ht1/2 t, (2.3) ht=0+1yt-12+2yt-22+pyt-p2+1ht-1+qht-q, (2.4) 00, i0, i=1,2,p; j0, j=1,2,q. (2.5) 其中t为i.i.d.的N(0,1)分布, 且t与 yt-1, yt-2, 独立.,GARCH模型,其一, 利用(1.12)式反复迭代可得知, ht= S2(yt-1, yt-2, )确实依赖序列的全部历史值, 但是, ht仅依赖有限个参数. 其二, 在1997年诺贝尔经济学奖, 被两位研究期权定价理论的B

9、lack-Scholes方程的学者获得. 从理论上人们发现, Black-Scholes方程的解是连续时间变化的随机过程, 对它进行等间隔离散化采样, 所得到的序列, 恰好满足GARCH模型. 于是, GARCH模型更被认可, 而且, 金融界特别偏爱GARCH模型. 其三, 如前所述, (1.13)式的条件 00, 仍不能放宽为 00. 而且, (1.13)式中的条件 i0, i=1,2,p, 还应附加一个限制: 1+2+ p0,你拥有序列观测值y1,y2,yn , 如果要为它们建立ARCH （GARCH)模型, 将面对着下列问题: （1）为什么要建立GARCH模型? （2）用多少阶数的模型?

10、 （3）怎样获得模型的参数值? 回答了这些问题, 就解决了为GARCH模型建模的问题.,最小二乘法估计 极大似然估计,三、ARCH模型参数估计,根据观测数据y1,y2,yn , 判断所要拟合的模型是否适用, 称为模型检验. 模型检验, 有在建立模型前进行的, 有在之后进行的. 对于GARCH模型来说, 在为数据y1,y2,yn建立GARCH模型前, 首先应当判断有没有必要. 如前言所说到, 平稳序列的条件方差S(yt,yt-1,)可能是常数值, 此时就不必建立GARCH模型. 于是判断条件方差S(yt,yt-1,)是否为常数, 就应当在建模前完成. 即使经判断后, 条件方差不是常数, 它也未必满足GARCH模型. 然而目前GARCH模型是比较熟知的条件异方差