湖北省八校高三(上)第一次联考数学试卷(理科)

1、最新资料推荐2015-2016 学年湖北省武汉市八校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）答案与解析一、选择题1、已知集合 A=x|x 2 2x 30，B=x|log 2 （x 1） 2 ，则（ ? RA ） B=（）A （1， 3）B（ 1，3）C（ 3， 5） D （ 1， 5）解： 集合 A=x|x 2 2x 30， ? RA=x|x 2 2x 3 0= （ 1， 3），又 B=x|log 2（ x 1） 2=x|0 x 1 4= （1， 5）， （? RA） B=（1， 3），选 A22）2、命题 “x+y =0，则 x=y=0 ”的否定命题为（A 若 x2+y 2=0，则 x0且 y0

2、B 若 x2 +y2=0，则 x0或 y0C若 x2 +y20，则 x0且 y0D 若 x2+y 20，则 x0或 y02222解：命题 “xx +y 0，则 x0或 y0选 D+y =0，则 x=y=0 ”的否定命题为：若3、欧拉公式eix=cosx+isinx （ i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥 ”，根据欧拉公式可知，e2i 表示的复数在复平面中位于（）A 第一象限B第二象限C第三象限D 第四象限解： e2i=cos2+isin2 ， 2， cos2（ 1

3、， 0）， sin2（ 0， 1）， e2i 表示的复数在复平面中位于第二象限4、函数 f （ x）=，则 ff （） = （）A B 1C 5D解： 函数 f（ x） =， f （） =， ff （） =f （） = 2=5、等差数列 a n 前 n 项和为 Sn，且=+1，则数列 a n 的公差为（）A 1B 2C 2015D 2016解：设等差数列 a n 的公差为 d1最新资料推荐，=d又=+1 ， 等差数列 a n 的公差为2选 B6、若 a=ln2 ， b=5， c=A ab cB ba c解：=ln ln2 lne=1 ，sinxdx ，则 a， b，c 的大小关系（）C cb

4、aD b c a a1，b=5=，c=sinxdx= cosx|=（ 1+1 ） =， bc a，选 D7、已知 sin（ ） cos =，则 cos（2+） =（）A BCD解： sin （ ） cos=cossin cos= sin（ +） =， sin （+） =，则 cos（2+ ） =12sin2（ + ） = ，选 C8、已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（）A 12B 16C 20D 32解：由三视图可知该几何体为直三棱柱与四棱锥的组合体，V 棱柱 = 43=12 ，V 棱锥 =4（ 6 3） =8 ， 组合体的体积为V 棱柱 +V 棱锥

5、=20选 C2最新资料推荐9、已知函数 f（ x）=sin2（ x） （ 0）的周期为 ，若将其图象沿x 轴向右平移 a 个单位（ a 0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（）A B CD解：由函数 f（ x） =sin 2（x）= cos2x （ 0）的周期为=，可得 =1，故 f （ x） =cos2x若将其图象沿x 轴向右平移 a 个单位（ a 0），可得 y= cos2（x a） = cos（ 2x2a）的图象；再根据所得图象关于原点对称，可得2a=k+， a=+， k Z则实数 a 的最小值为选 D10、如图，在正六边形ABCDEF 中，点 P 是 CDE 内（包括边界）

6、 的一个动点， 设（ ， R）则 +的取值范围（）A 1，2B 2， 3C 2， 4D 3， 4解：建立如图坐标系，设AB=2 ，则 A （ 0， 0），B （2， 0），C（ 3，）， D（ 2， 2）， E（ 0， 2）， F（ 1，）则 EC 的方程： x+y 6=0 ； CD 的方程：x+y 4=0；因 P 是 CDE 内（包括边界）的动点，则可行域为又，则=（ x， y），=（ 2，0），=（ 1，），3最新资料推荐所以（ x， y） =（ 2，0） +（ 1，）得? 3 +4则 +的取值范围为3， 4选 D11、若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的

7、体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A 3B 2C2D 3解：设底面边长 AB=a ，棱锥的高 SM=h ，22， V 棱锥 S ABCD = ?a ?h=9， a = 正四棱锥内接于球O， O 在直线 SM 上，设球 O 半径为 R，（ 1）若 O 在线段 SM 上，如图一，则 OM=SM SO=h R，（ 2）若 O 在在线段 SM 的延长线上，如图二，则OM=SO SM=R h， SM 平面 ABCD ， OMB 是直角三角形， OM 2+MB 2=OB 2， OB=R ， MB=BD=a， （ h R） 2+=R 2，或（ Rh） 2+=R2 2hR=h2+ ，即 R=+=+

8、=3=当且仅当=取等号，即h=3 时 R 取得最小值选 A4最新资料推荐12、关于函数f （x） =+lnx ，下列说法错误的是（）A x=2 是 f（ x）的极小值点B 函数 y=f （ x） x 有且只有1 个零点C存在正实数k，使得 f （ x） kx 恒成立D 对任意两个正实数x1 ，x2 ，且 x2 x1，若 f（ x1） =f （x2），则 x1+x 2 4解： f （ x）=， （ 0， 2）上，函数单调递减， （ 2， +）上函数单调递增， x=2 是 f（ x）的极小值点，即A 正确；y=f （ x） x=+lnx x， y= 0，函数在（ 0，+）上单调递减，x0， y +

9、， 函数y=f （x） x 有且只有1 个零点，即B 正确；f（ x） kx ，可得 k，令 g（ x）=，则 g（ x） =，令 h（x） = 4+x xlnx ，则 h（ x） = lnx ， （ 0， 1）上，函数单调递增， （ 1， +）上函数单调递减， h（x） h（ 1） 0， g（ x） 0， g（x） =在（ 0， +）上函数单调递减，函数无最小值， 不存在正实数 k，使得 f（ x） kx 恒成立，即 C 不正确；对任意两个正实数 x1， x2 ，且 x2 x1，（0， 2）上，函数单调递减， （ 2，+）上函数单调递增，若f（x1）=f （ x2），则 x1+x 2 4，正

10、确 选 C二、填空题13、已知平面直角坐标系中，=（ 3，4）， ? = 3，则向量在向量 的方向上的投影是解：向量在向量方向上的投影为：=5最新资料推荐14、若函数f（ x） =，g（ x） =f （x） +ax， x 2， 2为偶函数，则实数a=解： f （ x） =， g（x） =f （ x）+ax=， g（x） =为偶函数， g（ 1） =g（ 1），即 a 1=1+a 1=a， 2a= 1， a= 15、设实数x，y 满足约束条件，则 z=2x+y 的最大值为解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 A（ 4， 2），化目标函数z=2x+y 为 y= 2x+z ，由图可知，当直线y=

11、 2x+z 过 A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为24+2=10 16、如图所示，已知 ABC 中， C=90， AC=6 ， BC=8 ，D 为边 AC 上的一点， K 为 BD 上的一点，且 ABC= KAD= AKD ，则 DC=6最新资料推荐解：由题意 ，tanABC=， ABC= KAD= AKD ， BDC=2 ABC ， tan BDC=tan2 ABC=DC=三、解答题17、在等比数列 a n 中， a3=， S3=（）求 a n 的通项公式；（）记bn=log 2，且 b n 为递增数列，若Cn=，求证： C1+C2+C3+Cn解：（） a3=， S3=， 当

12、q=1 时， S3=3a1=，满足条件，q=1 当 q1时， a1q2=，=，解得 a1=6， q=综上可得： an=n=6?（） n 1；或 a（ ）证明：由题意可得 bn=log 2=log 22n=log 22 =2n，则 Cn=（），即有 C1+C2+C3+Cn=（ 1+）7最新资料推荐=（ 1） =故原不等式成立18、如图， ABC 中，三个内角 B、 A 、 C 成等差数列，且 AC=10 ，BC=15（ 1）求 ABC 的面积；（ 2）已知平面直角坐标系xOy ，点 D （10，0），若函数f （ x）=Msin （ x+）（ M 0， 0， | |）的图象绕过A 、 C、 D

13、三点，且A 、D 为 f （x）的图象与x 轴相邻的两个交点，求f （x）的解析式解：（1）在 ABC 中， 角 B、 A 、 C 成等差数列， 2A=B+C ，即 3A=180，则 A=60 （ 1 分）由余弦定理可知：a2=b2+c2 2bccos60， （ 2 分） c2 10c 125=0 ，则 c=|AB|=5+5 （ 4 分）又 |AO|=10cos60=5 ， |BO|=5 ，则 ABC 的面积 S=（ 5+5） =（ 3） （ 6 分）（ 2）T=2（ 10+5） =30， = （ 8 分） f （ 5） =Msin（ 5） +=0， sin（+） =0，则+=k，即 =+k，

14、k Z | |， =， （ 10 分） f （ 0） =Msin=5， M=10 ，则 f （ x） =10sin（x+） （12 分）19、如图，已知长方形 ABCD 中， AB=2 ， AD= ，M 为 DC 的中点，将 ADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM 平面 ABCM8最新资料推荐（）求证： AD BM（）若点E 是线段 DB 上的一动点，问点E 在何位置时，二面角E AM D 的余弦值为解答 （ 1）证明： 长方形 ABCD 中， AB=2， AD=， M 为 DC 的中点， AM=BM=2 ， BM AM 平面 ADM 平面 ABCM ，平面 ADM 平面 ABCM=AM，

15、BM ? 平面 ABCM BM 平面 ADM AD ? 平面 ADM AD BM ；（ 2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面 AMD的一个法向量=（ 0， 1， 0），= +=（ 1 ， 2， 1 ），=（ 2， 0， 0），设平面 AME的一个法向量为=（x， y， z），则，取 y=1，得 x=0， z=，则 =（ 0，1，）， cos ， =， 求得，故 E 为 BD 的中点 20、小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1 所示，网球场前半区、后半区总长为 23.77 米，球网的中间部分高度为0.914 米，发射器固定安装在后半区离球网底部8 米处中轴线上

16、，发射方向与球网底部所在直线垂直为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24 米和 1 米计算，发射器和网球大小均忽略不计如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 米已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程9最新资料推荐表示的曲线上，其中k 与发射方向有关发射器的射程是指网球落地点的横坐标（）求发射器的最大射程；（）请计算 k 在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.5

17、5 米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a 最大为多少？并请说明理由解：（ ）由kx （ 1+k2） x2=0（k 0），可得： x=或 x=0，由 x=20 ，当且仅当 k=1 时取等号因此，最大射程为 20米；（ ）网球发过球网，满足x=8 时 y 1所以 4k（ 1+k 2） 1，即 4k2 20k+9 0，因此 k，依题意：关于k 的方程ka （ 1+k2） a2=2.55 在（，）上有实数解，即 a2k2 40ak+a2+204=0 （a0）， =1600a2 4a2（ a2+204）0得 a14，此时 k=，球过网了，所以击球点的横坐标a 最大为 14*21 、已知函数 f

18、（ x）=ex， x R（）若直线 y=kx 与 f （x）的反函数的图象相切，求实数k 的值（）设 a，b R，且 ab，A=f （）， B=，C=，试比较 A， B， C 三者的大小，并说明理由10最新资料推荐解：（1） f（ x）的反函数为y=lnx ，设切点为（ x0， lnx 0），则切线斜率为k=，解得 x0=e， k= （ 2）不妨设 ab，则 A B= 0， A B A C=， x x 0，令 m（ x） =2x ex+e（ x 0），则 m（ x） =2ex e m（ x）在（ 0，+）上单减，故 m（ x） m（ 0） =0，取 x=，则 ab+ 0， A C?=1，令 n

19、（x） = 1+，则 n（ x）=0， n（ x）在（ 0， +）上单增，故 n（x） n（0） =0 ，取 x=a b，则 1+ 0， B C综合上述知 ，A C B选修 4-1 几何证明选讲22、如图， BC 是圆 O 的直径，点F 在弧上，点 A 为弧的中点，做AD BC 于点 D， BF 与 AD 交于点 E， BF 与 AC 交于点 G（）证明： AE=BE（）若AC=9 ， GC=7 ，求圆 O 的半径11最新资料推荐证明：（） 连接 AB ， 点 A 为弧的中点， = ， ABF= ACB（ 2 分）又 AD BC ， BC 是圆 O 的直径， （ 4 分） BAD= ACB ， ABF= BAD ， AE=BE （5 分）（ ）由 ABG ACB 知 AB 2=AG?AC=29 AB=3 （ 8 分）直角 ABC 中由勾股定理知BC=3 （ 9 分） 圆的半径为 （ 10 分）选修 4-4 极坐标与参数方程23、已知曲线C 的极坐标方程