高等代数课件：第七课 线性方程组

1、第三章,线性方程组,1,1 消元法,2 n维向量空间,3 线性相关性,4 矩阵的秩,5 线性方程组有解判别定理,6 线性方程组解的结构,第一节 消元法,2,1一般线性方程组是指形式为,(1),是方程的个数 ;,的方程组，其中 代表 个未知量的系数，,称为方程组的系数； 称为常数项 。,一、一般线性方程组的基本概念,3,2方程组的解,设 是 个数，如果 分别用,代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式,则称有序数组 是（1）的一个解.,(1)的解的全体所成集合称为它的解集合,解集合是空集时就称方程组（1）无解,4,(1),3同解方程组,如果两个线性方程组有相同的解集合，则称它们,是同解的,5,(1

2、),线性方程组解的个数有哪几种情况？,无解，,唯一解，,有两个解？,设,6,是方程组的两个解，则,7,两组等式两边分别乘以1/2后，相加得,也是方程组的解。,8,也是方程组的解。,第一组等式两边乘以1/3，第二组等式两边乘以2/3，相加得,9,也是方程组的解。,若,是方程组的两个解，则,也都是方程组的解。,若方程组有两个解，则一定有无穷多解。,显然,10,(1),线性方程组的解有哪几种情况？,无解，,唯一解，,无穷多解,例1解方程组,解,方程组(1)中第2个方程减去第1个方程的2倍， 第3个方程减去第1个方程，得,再将方程组(2)中第2个方程减去第3个方程的4倍，得,11,将方程组(3)中第2

3、，3方程交换，得,得方程组有唯一解,12,例2 解方程组,解,方程组(1)中第2个方程减去第1个方程的2倍， 第3个方程减去第1个方程，得,再将方程组(2)中第2个方程加上第3个方程，得,13,取遍所有实数,整理得,解得,14,该方程组有无穷多解。,例3 解方程组,解,方程组(1)中第2个方程减去第1个方程， 第3个方程减去第1个方程的2倍，得,再将方程组(2)中第2个方程乘以1/2，得,15,此方程组无解。,方程组(3)中第3个方程减去第2个方程，得,16,定义线性方程组的初等变换是指下列三种变换, 用一个非零的数乘某一个方程；, 将一个方程的倍数加到另一个方程上；, 交换两个方程的位置,性

4、质线性方程组经初等变换后，得到的线性方程,组与原线性方程组同解,2线性方程组的初等变换,17,例1解方程组,通过初等变换，化为,阶梯形方程组中，方程个数为3，,未知数的个数为3，,此时，方程组有唯一解。,阶梯形方程组,18,例2 解方程组,通过初等变换， 化为,阶梯形方程组中，方程个数为2，,未知数的个数为3，,此时，方程组有无穷多解。,19,例3 解方程组,通过初等变换， 化为,阶梯形方程组中，出现 0 = 3，,此时，方程组无解。,20,阶梯形方程组中，方程个数为3，,未知数的个数为3，,方程组有唯一解。,21,阶梯形方程组中，非零方程个数为2，,未知数的个数为3，,方程组有无穷多解。,阶

5、梯形方程组中，出现 0 = 3，,方程组无解。,用初等变换将方程组化为,22,例4 解线性方程组,阶梯形方程组中，非零方程个数为3，,未知数的个数为4，,此时，方程组有无穷多解。,用初等变换将方程组化为,23,例5 解线性方程组,24,阶梯形方程组中，非零方程个数为4，,未知数的个数为4，,方程组有唯一解。,25,阶梯形方程组中，非零方程个数为3，,未知数的个数为4，,此时，方程组有无穷多解。,阶梯形方程组中，非零方程个数为4，,未知数的个数为4，,方程组有唯一解。,若阶梯形方程组为,方程组无解。,用初等变换将方程组化为,26,例6 解线性方程组,阶梯形方程组中，非零方程个数为3，,未知数的个

6、数为4，,此时，方程组有无穷多解。,用初等变换将方程组化为,27,例7 解线性方程组,阶梯形方程组中，出现 0 = -4，,此时，方程组无解。,3利用初等变换解一般线性方程组 （化阶梯方程组）,先检查(1)中 的系数，若 全为零，,则 没有任何限制，即 可取任意值，从而方程组,(1)可以看作是 的方程组来解,28,如果 的系数不全为零，不妨设，,分别把第一个方程 的倍加 到第i个方程 ,(2),于是(1)就变成,其中,29,30,(2),依次下去，,最后就得到一个阶梯形方程组.,这时去掉它们不影响方程组的解,方程组中的“”这样一些恒等式可能不出现,也可能出现，,31,1,阶梯形方程组,时，方程

7、组无解,时，方程组有解,32,1）若非零方程的个数等于未知数,方程组有唯一解。,时，方程组有解,由Cramer法则知,此时方程组有无穷多个解。,事实上，任意给 一组值，,由方程组就唯一定出的 一组值,33,2）若非零方程的个数小于未知数,这时方程组可化为,而,一般地，我们可以把,这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，,表示出来,34,通过,称为一组自由未知量,35,阶梯形方程组中，非零方程个数为2，,未知数的个数为3，,方程组有无穷多解。,是自由未知量,整理得,回代,经过初等变换化为阶梯形方程组,用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，,若阶梯形方程组中出现“0=非零常数”,否则有解。,方程个

8、数 = 未知数个数，,有解的情况下：,36,在阶梯形方程组中,有唯一解；,有无穷多解。,3利用初等变换解一般线性方程组 （化阶梯方程组）,方程组无解，,阶梯形方程组中，出现 0 = -6，,此方程组无解。,37,解线性方程组, , 2, , 2,练习,38,解齐次线性方程组,2, ,2,阶梯形方程组中，非零方程个数为2，,未知数的个数为4，,此时，方程组有无穷多解。,练习,齐次线性方程组,39,一定有零解。,齐次线性方程组解的情况：,唯一零解，,无穷多解,齐次线性方程组,一定有无穷多解,三、齐次线性方程组的解,定理1 对齐次线性方程组,因为：,方程组化为阶梯形后，阶梯形方程组中，,故一定小于未

9、知数的个数n。,40,若方程的个数小于未知数的个数，,非零方程的个数不会超过原来方程的个数 s，,即：如果 ，则它必有非零解。,则它必有无穷多解。,由 mn 个数 排成的 m 行 n 列的数表,称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵,记作,矩阵,定义,41,简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵，,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,这 mn 个数称为矩阵A的元素，简称为元.,42,例如：,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,行数不一定等于列数 共有mn个元素 本质上就是一个数表,行数等于列数 共有n2个元素,矩阵,行列式,43,nn 矩阵也称为n 级方阵。,一个n 级方阵,定义一个n 级行列式,称为矩

10、阵A的行列式，,记作|A|。,44,对线性方程组,(1),称为方程组的系数矩阵,称为方程组的增广矩阵,45,46, ,2,47,4 ,48, ,线性方程组的初等变换, 用一个非零的数乘某一个方程；, 将一个方程的倍数加到另一个方程上；, 交换两个方程的位置,对应增广矩阵的行变换, 用一个非零的数乘矩阵的某一行；, 将矩阵的某一行的倍数加到另一行；, 交换矩阵中两行的位置,49,所谓矩阵的初等行变换是指下列三种变换, 用一个非零的数乘矩阵的某一行；, 将矩阵的某一行的倍数加到另一行；, 交换矩阵中两行的位置,定义2,50,51,阶梯形方程组,称该种形式的矩阵为行阶梯形矩阵,对应的增广矩阵为,定义

11、3,52,行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 每个台阶只有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.,称具有以下形式的矩阵为行阶梯形矩阵。,53,行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 每个台阶只有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.,不是行阶梯形,例,54,行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 每个台阶只有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.,不是行阶梯形,例,行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 每个台阶只有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.,定理,任何一个矩阵经过一系列初等行变换总

12、能变成行阶梯形矩阵。,55,56,57,58,作为增广矩阵，该矩阵对应的线性方程组为,阶梯形方程组,该方程组有无穷多解,阶梯形矩阵中，,作为增广矩阵，该矩阵对应的线性方程组有无穷多解,非零行的行数,列数减1,59,作为增广矩阵，该矩阵对应的线性方程组为,作为增广矩阵，该矩阵对应的线性方程组有唯一解,阶梯形方程组,该方程组有唯一解,阶梯形矩阵中，,非零行的行数,列数减1,60,作为增广矩阵，该矩阵对应的线性方程组为,阶梯形方程组,该方程组无解,方程组中出现 0 =1,出现某一行，该行只有最后一列元素不为 0,作为增广矩阵，该矩阵对应的线性方程组无解,阶梯形矩阵,用初等行变换化增广矩阵为行阶梯形矩

13、阵,消元法解方程组的矩阵表示：,根据阶梯形矩阵的特征来判断方程组解的情况。,61,该矩阵对应的线性方程组有无穷多解；,2. 阶梯形矩阵中，非零行的行数 = 列数减1，,该矩阵对应的线性方程组有唯一解；,3. 阶梯形矩阵中，出现某一行，该行只有最后一列 元素不为0，,该矩阵对应的线性方程组无解。,例：求解非齐次线性方程组,解：,原线性方程组有无穷多解,62,阶梯形矩阵中，非零行的行数为3,小于列数减1（5-1=4），,例：求解非齐次线性方程组,解：,原线性方程组无解,63,阶梯形矩阵中，第三行只有最后一列元素为0，,64, ,2,65,4 ,66, ,易算出,67,回代,最简行阶梯形矩阵,4 非

14、零行的第一个非零元为1; 5 这些非零元所在的列的其它元素都为零.,求解方程组的矩阵表示:,由最后一个矩阵得方程组的解,68,将增广矩阵先化为行阶梯形,再将行阶梯形化为最简行阶梯形,所谓矩阵的初等列变换是指下列三种变换, 用一个非零的数乘矩阵的某一列；, 将矩阵的某一列的倍数加到另一列；, 交换矩阵中两列的位置,定义4,矩阵的初等行变换和初等列变换统称初等变换。,69,定义1线性方程组的初等变换是指下列三种变换, 用一个非零的数乘某一个方程；, 将一个方程的倍数加到另一个方程上；, 交换两个方程的位置,性质线性方程组经初等变换后，得到的线性方程组,与原线性方程组同解,小结,70,用初等变换化线

15、性方程组为阶梯形方程组，,若阶梯形方程组中出现“0=非零常数”,否则有解。,方程个数 = 未知数个数，,有解的情况下：,71,在阶梯形方程组中,有唯一解；,有无穷多解。,方程组无解，,消元法解方程组的过程：,由 mn 个数 排成的 m 行 n 列的数表,称为 m 行 n 列矩阵，简称 mn 矩阵,记作,矩阵,定义,72,所谓矩阵的初等行变换是指下列三种变换, 用一个非零的数乘矩阵的某一行；, 将矩阵的某一行的倍数加到另一行；, 交换矩阵中两行的位置,定义2,定义3,称具有以下形式的矩阵为行阶梯形矩阵。,73,行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零； 每个台阶只有一行； 阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.,定理,任何一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵。,用初等行变换化增广矩阵为行阶梯形矩阵,消元法解方程组的矩阵表示：,根据阶梯形矩阵的特征来判断方程组解的情况。,74,该矩阵对应的线性方程组有无穷多解；,2. 阶梯形矩阵中，非零行的行数