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文档简介

1、2.5 微分学基本定理,1,分析：,2,3,由极限的保号性可得：,4,5,6,定理得证。,7,8,注意:,1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.,例如,9,10,11,思考题,12,13,思考题,求证存在,使,1. 设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,14,15,在该点处曲线的切线平行于连结两端点的直线。,16,17,18,19,20,21,微分中值公式的另一种形式为,此公式常称为有限增量公式。,22,推论1是“常数函数的导数是零”的逆命题。,23,24,同理可证 P90 习题七第 8 题。,25,26,27,28,29,3

2、0,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,31,32,33,34,罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理之间关系,35,作,业,习,题,七,（,P,89,）,1 ； 3； 5 ； 6 ； 7(2)(4)(7)；8(用推论1)； 9 ；10； 12； 14.,36,37,思考与练习,1. 填空题,1) 函数,在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理,条件, 则中值,2) 设,有,个根 , 它们分别在区间,上.,方程,38,2. 设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,39,3. 若,可导, 试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:,设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,40,设,证明对任意,有,证：,4.,不妨设,41,5. 设,至少存在一点,使,证: 结论可变形为,设,则,在 0, 1 上满足柯西中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ,使,即,证明,42,6. 试证至少存在一点,使,证:,法1 用柯西中值定理 .,则 f (x) , F(x) 在 1 , e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,43,6. 试证至少存在一

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