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1、第2节 二重积分的计算,一. 直角坐标系中二重积分的计算：,3积分区域 D 既不是 X 型区域也不是 Y 型区域.,例 1 计算,解,解 法一 先对y后对x积分,例 2 计算,法二 先对x后对y积分,解 由于 的原函数不能用初等函数 表示，故不能先对y积分,例3 计算,注意：在例2中，法1比法2简便，在例3中，由于被积 函数中含有 ，只能先对x积分. 因此，在把二重积分化为二次积分时，选择恰当的积分次序是非常重要的，而要计算二重积分，关键的是要化为二次积分。,解 原积分=,例4 作出积分域，并改变积分次序：,解 原积分=,解 原积分=,(4,2),(2,1),解 原积分,解 原积分=,例7 求

2、两个底面半径相同的正交圆柱体所围成的立体 的体积。,解,（2）变换T： 把 uv平面上的区 域 一对一的变为 D，,二.二重积分的换元法,定理1 设（1）,（3）x(u,v),y(u,v)在 上具有一阶连续偏 导数， 且：,例8 计算,解,于是,三. 极坐标系下二重积分的计算,则,按二重积分的换元公式，便得极坐标中的二重积分:,作极坐标变换,解 令,则在极坐标系中，,于是,例9 计算,显然,例 10 计算反常积分,解 设,而,因此,从而,例11 将下列二次积分化为极坐标形式下的 二次积分：,解,积分区域：D:,在极坐标下，D：,于是,解,在极坐标下，将D分为二部分表示：,于是,解,在极坐标下，D分为二部分表示：,于是,解,例12 求Bernoulli双纽线,围成的面积A.,解 双纽线在极坐标下的方程为：,由 的周期性得图形的对称性，而且当 从,增加到 时， 由零增加到 ，再减少到零，,于是

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