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文档简介

1、1,三、反证法与放缩法,新会禾雀花,天马行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,2,1.例1.,已知：x, y0, 且x+y2。试证明：,分析：,于是考虑采用反证法。,1.从下面证明这个结论，要分三种情况；,2.结论的反面只有一种情况。,天马行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,3,证明,因为x0, y0, 所以1+x2y, 1+y2x,把这两个不等式相加，得 2+x+y2x+2y , 2x+y , 即 x+y2,这与已知x+y2相矛盾。,即原命题成立。,1.例1.,已知：x, y0, 且x+y2。试证明：,天马行空官方博客

2、： ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,4,2.例2.,已知a, b, c为实数，a+b+c0, ab+bc+ca0, abc0, 求证: a0, b0, c0。,要证的结论与条件之间的联系不明显， 直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是 考虑采用反证法。,假设a, b, c不全是正数，这时需要逐个讨论 a, b, c不是正数的情形。,由于已知条件有一个特点：任意交换a, b, c 的位置不改变命题的条件。所以我们只要讨 论其中一个数，其他两个数与这种情形类似。,分析：,5,证明：,假设a, b, c不全是正数，即其中至少有一,个不是正数，不妨设a0。分两种情况讨论。,如

3、果a=0，则abc=0.这与已知abc0矛盾， 所以a=0是不可能的。,如果a0得bc0,因为a+b+c0，所以b+c-a, b+c0, a(b+c)0,a(b+c)+bc0,这与已知ab+bc+ca0相矛盾。,所以，a0也不可能。,综上所述，a0,同理可证，b0, c0.,所以原命题成立。,例2.已知a, b, c为实数，a+b+c0, ab+bc+ca0, abc0, 求证: a0, b0, c0。,所以ab+bc+ca0,6,已知a, b, dR+，求证,若把中间代数式通分相加，则运算非常复杂， 难度太大。,分析：,3.例3.,分析此式的形式特点，可以通过适当放缩， 使不等式简化，从而得证。,7,缩小法,8,放大法,9,证明：,因为a, b, c, dR+，所以,已知a, b, c, dR+，求证,3.例3.,10,所以,把以上四个不等式相加，得,11,已知a, b 是实数，,把不等式右边缩小得，,4.例4.,求证,分析：,把不等式左边放大得，,0|a+b|a|+|b|,只要把分式化成仅有一个绝对 值表达式，就容易放缩了。,12,因为0|a+b|a|+|b

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