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1、13.3 波函数 薛定谔方程,13.3.1 波函数,13.3.2 薛定谔方程,13.3.3 一维无限深方势阱中的粒子,13.3.5 例题分析,13.3.4 氢原子的薛定谔方程,13.3.1 波函数,微观粒子具有波动性，与微观粒子相联系的波称之为物质波，波函数就是物质波的数学表达式.,假设有一个动量为P 、能量为E 的自由粒子，按德布罗意假设，它相当于一列沿它的运动方向传播的单色平面波，其波长和频率分别为,若取平面波传播的方向为x 轴的正方向，则由波动理论可知，平面波的波动方程为,若自由粒子的物质波沿空间任意方向传播，则其波函数的表达式为,若考虑空间一个小微元 ，则在 内波函数 可视为不变. 因

2、为粒子在 内出现的几率正比与该处物质波的强度，即正比与 . 若用 表示粒子出现在 中的几率，,所以某点处单位体积内粒子出现的几率，即粒子的几率密度为,于是自由粒子在空间某处出现的几率密度为,波函数 必须满足的条件：,标准化条件：,波函数的归一化条件：,注意：物质波的波函数不同于机械波的波函数y，y是表示振动位移的物理量，而 本身没有什么直观的物理意义，只是通过 才间接地反应出粒子出现的几率.,单值、有限、连续,13.3.2 薛定谔方程,薛定谔推广了德布罗意物质波的概念，于1926年提出了波动力学，并建立了一个量子体系的物质波运动方程。因此而获1933年诺贝尔奖。,薛定谔的波动方程成功地解决了氢

3、原子光谱等一系列重大问题。,波动力学与矩阵力学是完全等价的，是同一种力学规律的两种不同表述，而且它们都属于非相对论性的量子力学。,下面用一类比较简单的问题即粒子在恒定力场中的运动，由于这种问题中势能函数V 和粒子能量E 与时间无关，这时粒子处于定态，则粒子的定态波函数可以写成,可以看出，粒子处于定态时，它在空间各点出现的几率密度与时间无关，即几率密度在空间形成稳定分布. 此时定态波函数的空间部分 称之为定态波函数.,在非相对论情况下， 所满足的薛定谔方程称之为定态薛定谔方程 .,若粒子在一维空间运动，则,1993年克罗米等人，用扫描隧道显微镜发现了量子围栏中的驻波，再次直观地证实了电子的波动性

4、，支持了薛定谔波动力学。,13.3.3 一维无限深方势阱中的粒子,假设粒子只能沿x 轴作一维运动，且势能函数具有如下形式,由于 与时间无关，因此在势阱中运动的粒子处于定态，可以用一维定态薛定谔方程求解.,在的区域内 ， ，具有有限能量的粒子不可能出现.,在的区域内 ， 因此有,由于波函数连续，所以,综上所述，粒子在一维无限方势阱内运动时，其波函数为,与能量E 所对应的粒子在势阱中的几率密度为,13.3.4 氢原子的薛定谔方程,对于氢原子而言:,13.3.5 例题分析,已知一维运动的粒子的波函数为,式中B 为正的常数，试求：,（1）归一化常数A和归一化波函数；,（2）该粒子位置坐标的概率分布函数（即概率密度）；,（3）在何处找到粒子的概率最大？,解 （1）,归一化波函数为,（2）粒子的概率分布函数

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